Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho \(BE = \frac{1}{3}AB\). Đường thẳng DE cắt CB

Câu hỏi số 317225:

Vận dụng

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho \(BE = \frac{1}{3}AB\). Đường thẳng DE cắt CB kéo dài tại K.

a) Chứng minh tam giác ADE đồng dạng với tam giác BKE

b) Gọi H là hình chiếu của C trên DE. Chứng minh \(AD.HD = HC.AE\)

c) Tính diện tích tam giác CDK khi độ dài \(AB = 6cm\)

d) Chứng minh \(CH.KD = C{D^2} + CB.KB\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:317225

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\Delta ADE \sim \Delta BKE\) (g.g)

b) Chứng minh \(\Delta ADE \sim \Delta HCD\) (g.g) từ đó suy ra tỉ lệ các cạnh suy ra đpcm

c) Dựa vào tỉ số đồng dạng để tính BK, suy ra CK. Từ đó tính diện tích tam giác CDK vuông tại C

d) \({S_{\Delta CDK}} = \frac{1}{2}.CD.CK = \frac{1}{2}CH.KD \Rightarrow CH.KD = CD.CK,\;\;CK = BC + BK\) thế vào để suy ra đpcm.

Giải chi tiết

a) Chứng minh tam giác ADE đồng dạng với tam giác BKE

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta BKE\) có:

\(\angle AED = \angle BEK\) (đối đỉnh)

\(\angle DAE = \angle KBE\) (\( = {90^o}\) do ABCD là hình vuông)

\( \Rightarrow \Delta ADE \sim \Delta BKE\;\left( {g - g} \right)\;\;\left( {dpcm} \right).\)

b) Gọi H là hình chiếu của C trên DE. Chứng minh \(AD.HD = HC.AE\)

Ta có: ABCD là hình vuông \( \Rightarrow AB//CD\)

\( \Rightarrow \angle AED = \angle HDC\) (so le trong)

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta HCD\) có:

\(\begin{array}{l}\angle AED = \angle HDC\;\;\left( {cmt} \right)\\\angle DAE = \angle CHD = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta ADE \sim \Delta HCD\;\;\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AD}}{{HC}} = \frac{{AE}}{{HD}} \Rightarrow AD.HD = HC.AE\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

c) Tính diện tích tam giác CDK khi độ dài \(AB = 6cm\)

Ta có: \(\Delta ADE \sim \Delta BKE\;\;\left( {cmt} \right) \Rightarrow \frac{{AE}}{{BE}} = \frac{{AD}}{{BK}}\) hay \(\frac{{AD}}{{BK}} = 2 \Rightarrow BK = \frac{1}{2}AD\)

Do ABCD là hình vuông \( \Rightarrow AD = AB = BC = CD = 6cm\)

\( \Rightarrow BK = \frac{1}{2}AD = 3cm \Rightarrow CK = BC + BK = 6 + 3 = 9\,\,(cm)\)

Ta có \(\Delta CDK\) vuông tại C (ABCD là hình vuông)

\( \Rightarrow {S_{\Delta CDK}} = \frac{1}{2}.CD.CK = \frac{1}{2}.6.9 = 27\,\,(c{m^2})\)

d) Chứng minh \(CH.KD = C{D^2} + CB.KB\)

Ta có: \({S_{\Delta CDK}} = \frac{1}{2}.CD.CK = \frac{1}{2}CH.KD \Rightarrow CH.KD = CD.CK\)

Mà \(CK = BC + BK \Rightarrow CH.KD = CD\left( {BC + BK} \right)\)

\( \Leftrightarrow CH.KD = CD.BC + CD.KB\)

Lại có \(CD = CB\) (ABCD là hình vuông) \( \Rightarrow CH.KD = C{D^2} + CB.KB\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link