Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường
Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M bất kỳ, vẽ MI vuông góc với AB, MK vuông góc với \(AC\;\;\left( {I \in AB,K \in AC} \right).\)
a) Chứng minh tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn.
b) Vẽ MP vuông góc với \(BC\;\;\left( {P \in BC} \right).\) Chứng minh \(\angle MPK = \angle MBC\).
c) Chứng minh rằng \(MI.MK = M{P^2}\).
d) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích \(MI.MK.MP\) đạt giá trị lớn nhất.
Quảng cáo
a) Chứng minh AIMK là tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^o}\)
b) Chứng minh\(\angle MPK\) và \(\angle MBC\) cùng bằng góc thứ 3 dụa vào tứ giác nội tiếp và tính chất tiếp tuyến.
c) Chứng minh \(\Delta MIP \sim \Delta MPK\) (g.g) bằng các tứ giác nội tiếp từ đó suy ra đpcm
d) Từ c) \( \Rightarrow MI.MK.MP = M{P^3}\). Để tích \(MI.MK.MP\) đạt giá trị lớn nhất \( \Leftrightarrow \) MP lớn nhất \( \Leftrightarrow \) M nằm chính giữa cung nhỏ BC.
a) Chứng minh tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn.
Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}MI \bot AB\;\;\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle AIM = {90^0}\\MK \bot AC\;\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle AKM = {90^0}\end{array} \right.\)
Tứ giác AIMK có: \(\angle AIM + \angle AKM = {180^o}\)
\( \Rightarrow \) AIMK nội tiếp đường tròn đường kính AM (dhnb).
b) Vẽ MP vuông góc với BC (\(P \in BC\)). Chứng minh \(\angle MPK = \angle MBC\).
Ta có: \(MP \bot BC\;\;\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle MPC = {90^0}\)
\( \Rightarrow \angle MPC + \angle MKC = {180^o}\)
\( \Rightarrow \) CPMK là tứ giác nội tiếp (dhnb).
\( \Rightarrow \angle MPK = \angle MCK\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MK)
Mặt khác \(\angle MCK = \angle MBC\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung MC)
\( \Rightarrow \angle MPK = \angle MBC\;\;\left( { = \angle MCK} \right)\) (đpcm)
c) Chứng minh rằng \(MI.MK = M{P^2}\).
Ta có: \(\angle MIB + \angle MPB = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
\( \Rightarrow \) BPMI là tứ giác nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow \angle MIP = \angle MBC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MP)
Mà \(\angle MPK = \angle MBC\) (cm b)
\( \Rightarrow \angle MIP = \angle MPK\;\;\left( { = \angle MBC} \right)\)
Hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được: \(\angle MPI = \angle MKP\;\;\left( { = \angle MCB = \angle MBI} \right)\)
Xét \(\Delta MIP\) và \(\Delta MPK\) có:
\(\begin{array}{l}\angle MIP = \angle MPK\;\;\left( {cmt} \right)\\\angle MPI = \angle MKP\;\;\;\left( {cmt} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta MIP \sim \Delta MPK\;\;\left( {g - g} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{{MI}}{{MP}} = \frac{{MP}}{{MK}} \Rightarrow MI.MK = M{P^2}\) (đpcm)
d) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích \(MI.MK.MP\) đạt giá trị lớn nhất.
Ta có \(MI.MK = M{P^2}\) (cm c) \( \Rightarrow MI.MK.MP = M{P^3}\)
\( \Rightarrow \) Để tích \(MI.MK.MP\) đạt giá trị lớn nhất \( \Leftrightarrow \) MP lớn nhất
Gọi H là hình chiếu của O trên BC \( \Rightarrow OH\) là hằng số (do BC cố định)
Gọi \(MO \cap BC = \left\{ D \right\}\), ta có \(MP \le MD\,\,;\,\,OH \le OD\)
\( \Rightarrow MP + OH \le MD + OD = MO \Rightarrow MP + OH \le R \Rightarrow MP \le R - OH\)
\( \Rightarrow \) MP lớn nhất bằng \(R - OH \Leftrightarrow O,\;H,\;M\) thẳng hàng hay M nằm chính giữa cung nhỏ BC
Vậy khi M nằm chính giữa cung nhỏ BC thì tích \(MI.MK.MP\) đạt giá trị lớn nhất.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
