Cho ba số \(x,y,z\) không âm và \({x^2} + {y^2} + {z^2} \le 3y\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P =

Câu hỏi số 317920:

Vận dụng cao

Cho ba số \(x,y,z\) không âm và \({x^2} + {y^2} + {z^2} \le 3y\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \frac{4}{{{{\left( {y + 2} \right)}^2}}} + \frac{8}{{{{\left( {z + 3} \right)}^2}}}\).

A. \(\min P = - 1\)

B. \(\min P = 0\)

C. \(\min P = 1\)

D. \(\min P = 2\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:317920

Phương pháp giải

Từ dữ hiện đề bài kết hợp bất đẳng thức Cô-si chứng minh \(2x + y + 2z \le 6\).

Chứng minh bổ đề với hai số \(a,b\) không âm ta chứng minh \(\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} \ge \frac{8}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\). Từ đó áp dụng vào \(P\) để tìm.

Giải chi tiết

Cho ba số x, y, z không âm và \({x^2} + {y^2} + {z^2} \le 3y\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \frac{4}{{{{\left( {y + 2} \right)}^2}}} + \frac{8}{{{{\left( {z + 3} \right)}^2}}}\).

Ta có ba số \(x,\;y,\;z\) không âm, áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {{x^2} + 1} \right) + \left( {{y^2} + 4} \right) + \left( {{z^2} + 1} \right) \ge 2x + 4y + 2z\\ \Rightarrow 3y + 6 \ge 2x + 4y + 2z\;\;\;\left( {do\;\;{x^2} + {y^2} + {z^2} \le 3y} \right)\\ \Rightarrow 6 \ge 2x + y + 2z.\end{array}\)

*) Với hai số \(a,\;b\) không âm ta chứng minh \(\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} \ge \frac{8}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: \({a^2} + {b^2} \ge 2ab \Rightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} \ge 4ab\)

\( \Rightarrow \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} \ge ab \Rightarrow \frac{1}{{ab}} \ge \frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} \Rightarrow \frac{2}{{ab}} \ge \frac{8}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\)

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta cũng có: \(\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} \ge 2.\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}}.\frac{1}{{{b^2}}}} = \frac{2}{{ab}}\) (\(a,b > 0\))

\( \Rightarrow \) Với hai số \(a,b\) không âm ta có \(\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} \ge \frac{8}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow a = b\)

Áp dụng bổ đề trên ta được:

\(\begin{array}{l}P = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \frac{4}{{{{\left( {y + 2} \right)}^2}}} + \frac{8}{{{{\left( {z + 3} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{y}{2} + 1} \right)}^2}}} + \frac{8}{{{{\left( {z + 3} \right)}^2}}}\\ \ge \frac{8}{{{{\left( {x + 1 + \frac{y}{2} + 1} \right)}^2}}} + \frac{8}{{{{\left( {z + 3} \right)}^2}}} \ge \frac{{64.4}}{{{{\left( {2x + y + 2z + 10} \right)}^2}}} \ge \frac{{256}}{{{{\left( {6 + 10} \right)}^2}}} = 1.\end{array}\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 = y + 2 = z + 3\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = 3y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\,\\y = 2\,\\z = 1\end{array} \right..\)

Vậy \(\min P = 1\) đạt được khi \(x = 1\,\,;\,\,y = 2\,\,;\,\,z = 1.\)

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link