Cần phải làm cái cửa sổ mà phía trên là hình bán nguyệt, phía dưới là hình chữ nhật, có chu vi là a mét (a chính là chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật trừ đi đường kính của hình bán nguyệt). Gọi d là đường kính của hình bán nguyệt. Hãy xác định d để diện tích cửa sổ là lớn nhất.

Câu 318260: Cần phải làm cái cửa sổ mà phía trên là hình bán nguyệt, phía dưới là hình chữ nhật, có chu vi là a mét (a chính là chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật trừ đi đường kính của hình bán nguyệt). Gọi d là đường kính của hình bán nguyệt. Hãy xác định d để diện tích cửa sổ là lớn nhất.

A. \(d = \dfrac{a}{{4 + \pi }}\).

B. \(d = \dfrac{{2a}}{{4 + \pi }}\)

C. \(d = \dfrac{a}{{2 + \pi }}\).

D. \(d = \dfrac{{2a}}{{2 + \pi }}\).

Câu hỏi : 318260

Quảng cáo

Phương pháp giải:

+) Gọi bán kính hình bán nguyệt là \(x\) , xác định độ dài các cạnh hình chữ nhật theo \(a,\,x\).

+) Tính diện tích cửa số, sử dụng phương pháp khảo sát hàm số để tìm GTLN của hàm diện tích.

Đáp án : B
(3) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi độ dài đoạn IB là x mét. Khi đó: độ dài hình bán nguyệt là \(\pi x\) (mét).

Ta có \(AB = 2x,\,\,\)\(BC = \dfrac{{a - \pi x - 2x}}{2}\)\( = \dfrac{{a - \left( {\pi + 2} \right)x}}{2}\)

Diện tích cửa số:

\(\begin{array}{l}S = {S_1} + {S_2} = \dfrac{1}{2}\pi {x^2} + 2x.\dfrac{{a - \left( {\pi + 2} \right)x}}{2}\\\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\pi {x^2} + ax - \left( {\pi + 2} \right){x^2} = - \dfrac{{\left( {\pi + 4} \right){x^2}}}{2} + ax\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = - \dfrac{{\left( {\pi + 4} \right){x^2}}}{2} + ax,\,\,\left( {x > 0} \right)\) có \(f'\left( x \right) = - \left( {\pi + 4} \right)x + a,\,\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{a}{{\pi + 4}}\)

Bảng biến thiên:

Vậy để diện tích cửa sổ là lớn nhất thì \(x = \dfrac{a}{{\pi + 4}} \Rightarrow d = 2x = \dfrac{{2a}}{{\pi + 4}}\).

Chọn: B

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.