Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và kí hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có: = n

Câu hỏi số 31834:

Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và kí hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có:

$\begin{bmatrix} \frac{3}{1.2}+\frac{7}{2.3}+....+\frac{n^{2}+n+1}{n(n+1)} \end{bmatrix}$ = n

A. Click để xem lời giải

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:31834

Giải chi tiết

Ta có $\frac{k^{2}+k+1}{k(k+1)}=1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$

Với k = 1 ta có $\frac{3}{1.2}=1+1-\frac{1}{2}$

k = 2 ta có $\frac{7}{2.3}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$

...........

k = n ta có $\frac{n^{2}+n+1}{n(n+1)}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

Cộng n đẳng thức ta thu được

Dễ thấy n < n + 1 $-\frac{1}{n+1}$ < n +1

=> $\begin{bmatrix} \frac{3}{1.2}+\frac{7}{2.3}+....+\frac{n^{2}+n+1}{n(n+1)} \end{bmatrix}$ = n

Chú ý: Có thể giải cách khác như sau: $\frac{k^{2}+k+1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}+\frac{k}{k+1}$

Với k = 1 ta có $\frac{3}{1.2}=1+\frac{1}{2}$

k = 2 ta có $\frac{7}{2.3}=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}$

...........

k = n ta có $\frac{n^{2}+n+1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}$

Cộng n đẳng thức ta thu được $\frac{3}{1.2}+\frac{7}{2.3}+....+\frac{n^{2}+n+1}{n(n+1)}=n+\frac{n}{n+1}$

Suy ra $\begin{bmatrix} \frac{3}{1.2}+\frac{7}{2.3}+....+\frac{n^{2}+n+1}{n(n+1)} \end{bmatrix}$ = n

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link