Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và kí hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có: = n

Câu hỏi số 31834:

Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và kí hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có:

$\begin{bmatrix} \frac{3}{1.2}+\frac{7}{2.3}+....+\frac{n^{2}+n+1}{n(n+1)} \end{bmatrix}$ = n

A. Click để xem lời giải

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:31834

Giải chi tiết

Ta có $\frac{k^{2}+k+1}{k(k+1)}=1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$

Với k = 1 ta có $\frac{3}{1.2}=1+1-\frac{1}{2}$

k = 2 ta có $\frac{7}{2.3}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$

...........

k = n ta có $\frac{n^{2}+n+1}{n(n+1)}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

Cộng n đẳng thức ta thu được

Dễ thấy n < n + 1 $-\frac{1}{n+1}$ < n +1

=> $\begin{bmatrix} \frac{3}{1.2}+\frac{7}{2.3}+....+\frac{n^{2}+n+1}{n(n+1)} \end{bmatrix}$ = n

Chú ý: Có thể giải cách khác như sau: $\frac{k^{2}+k+1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}+\frac{k}{k+1}$

Với k = 1 ta có $\frac{3}{1.2}=1+\frac{1}{2}$

k = 2 ta có $\frac{7}{2.3}=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}$

...........

k = n ta có $\frac{n^{2}+n+1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}$

Cộng n đẳng thức ta thu được $\frac{3}{1.2}+\frac{7}{2.3}+....+\frac{n^{2}+n+1}{n(n+1)}=n+\frac{n}{n+1}$

Suy ra $\begin{bmatrix} \frac{3}{1.2}+\frac{7}{2.3}+....+\frac{n^{2}+n+1}{n(n+1)} \end{bmatrix}$ = n

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link