Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn An đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho Ông già Noel có hình dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên. Biết rằng \(OO' = 5\,cm,\,\,OA = 10\,cm,\,OB = \,20\,cm,\) đường cong \(AB\) là một phần của một parabol có đỉnh là điểm \(A.\) Thể tích của chiếc mũ bằng

Câu 318749: Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn An đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho Ông già Noel có hình dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên. Biết rằng \(OO' = 5\,cm,\,\,OA = 10\,cm,\,OB = \,20\,cm,\) đường cong \(AB\) là một phần của một parabol có đỉnh là điểm \(A.\) Thể tích của chiếc mũ bằng

A. \(\frac{{2750\pi }}{3}\left( {c{m^3}} \right)\)

B. \(\frac{{2500\pi }}{3}\left( {c{m^3}} \right)\)

C. \(\frac{{2050\pi }}{3}\left( {c{m^3}} \right)\)

D. \(\frac{{2250\pi }}{3}\left( {c{m^3}} \right)\)

Câu hỏi : 318749

Phương pháp giải:

+) Xác định hàm parabol, sử dụng công thức tính thể tích vật thể giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right)\), \(x = a,\,\,x = b\,\,\left( {a < b} \right)\) khi quay xung quanh trục Ox: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} \).

+) Sử dụng công thức tính thể tích khối trụ chiều cao \(h\), bán kính đáy \(R:\,\,V = \pi {R^2}h\).

Đáp án : B
(8) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gắn hệ trục tọa độ như sau:

+) Gọi phương trình parapol là \(\left( P \right):\,\,y = a{x^2} + bx + c\).

\(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {10;0} \right),\,B\left( {0;20} \right)\) và nhận \(x = 10\) là trục đối xứng nên ta có hệ phương trình :

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}100a + 10b + c = 0\\c = 20\\\frac{{ - b}}{{2a}} = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{5}\\b = - 4\\c = 20\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):\,\,y = \frac{1}{5}{x^2} - 4x + 20 = \frac{1}{5}{\left( {x - 10} \right)^2}\\ \Rightarrow {\left( {x - 10} \right)^2} = 5y \Leftrightarrow x - 10 = \pm \sqrt {5y} \Leftrightarrow x = 10 \pm \sqrt {5y} \end{array}\).

\( \Rightarrow \) Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi \(\left( P \right)\), trục Ox, Oy là \({V_1} = \pi \int\limits_0^{20} {{{\left( {10 - \sqrt {5y} } \right)}^2}dy} = \frac{{1000\pi }}{3}\)

+) Thể tích khối trụ có chiều cao \(h = 5\), bán kính \(R = 10\) là \({V_2} = \pi {10^2}.5 = 500\pi \).

Vậy thể tích chiếc mũ là \(V = {V_1} + {V_2} = \frac{{1000\pi }}{3} + 500\pi = \frac{{2500\pi }}{3}\,\,\left( {c{m^3}} \right)\).

Chọn B.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.