Cho ba số thực \(a,b,c\) thỏa mãn điều kiện \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3\). Tìm giá trị nhỏ nhất

Câu hỏi số 319086:

Vận dụng cao

Cho ba số thực \(a,b,c\) thỏa mãn điều kiện \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

\(P = \frac{1}{{\sqrt {1 + 8{a^3}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + 8{b^3}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + 8{c^3}} }}\)

A. \(\min \,P = 1\)

B. \(\min \,P = 2\)

C. \(\min \,P = 3\)

D. \(\min \,P = 4\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:319086

Phương pháp giải

Dùng BĐT AM-GM và Cauchy để tìm min của từng số hạng trong tổng \(P.\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\sqrt {1 + 8{a^3}} = \sqrt {\left( {1 + 2a} \right)\left( {1 - 2a + 4{a^2}} \right)} \,\,\,\,\mathop \le \limits^{AM - GM} \,\,\,\,\frac{{1 + 2a + 1 - 2a + 4{a^2}}}{2} = 1 + 2{a^2}\)

Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {1 + 8{b^3}} \le 1 + 2{b^2}\\\sqrt {1 + 8{c^3}} \le 1 + 2{c^2}\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow P = \frac{1}{{\sqrt {1 + 8{a^3}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + 8{b^3}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + 8{c^3}} }} \ge \frac{1}{{1 + 2{a^2}}} + \frac{1}{{1 + 2{b^2}}} + \frac{1}{{1 + 2{c^2}}}.\)

Mặt khác:

\(\frac{1}{{1 + 2{a^2}}} = \frac{1}{{1 + 2{a^2}}} + \frac{{1 + 2{a^2}}}{9} - \frac{{1 + 2{a^2}}}{9}\,\,\,\,\mathop \ge \limits^{Cauchy} \,\,\,\,2\sqrt {\frac{1}{{1 + 2{a^2}}}.\frac{{1 + 2{a^2}}}{9}} - \frac{2}{9}{a^2} - \frac{1}{9} = \frac{{5 - 2{a^2}}}{9}\)

Khi đó: \(P \ge \frac{{5 - 2{a^2}}}{9} + \frac{{5 - 2{b^2}}}{9} + \frac{{5 - 2{c^2}}}{9} = \frac{{15 - 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{9} = \frac{{15 - 2.3}}{9} = 1\)

Vậy \(\min \,P = 1.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + {c^2} = 3\\1 + 2a = 1 - 2a + 4{a^2}\\\frac{1}{{1 + 2{a^2}}} = \frac{{1 + 2{a^2}}}{9}\end{array} \right.\) và vai trò của \(a,b,c\) như nhau nên ta được \(\left( {a;b;c} \right) = \left( {1;1;1} \right).\)

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.