Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và đồng biến trên \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\),

Câu hỏi số 319366:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và đồng biến trên \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\), bất phương trình \(f\left( x \right) > \ln \left( {\cos x} \right) - {e^{\pi x}} + m\) (với \(m\) là tham số) thỏa mãn với mọi \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) khi và chỉ khi :

A. \(m \le f\left( 0 \right) + 1\)

B. \(m > f\left( 0 \right) - 1\)

C. \(m < f\left( 0 \right) + 1\)

D. \(m \ge f\left( 0 \right) + 1\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:319366

Phương pháp giải

+) Cô lập \(m\), đưa bất phương trình về dạng \(g\left( x \right) > m\,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]} g\left( x \right)\).

+) Lập BBT của hàm số \(y = g\left( x \right)\) và kết luận.

Giải chi tiết

Ta có \(f\left( x \right) > \ln \left( {\cos x} \right) - {e^{\pi x}} + m \Leftrightarrow f\left( x \right) - \ln \left( {\cos x} \right) + {e^{\pi x}} > m\,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\)

Đặt \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \ln \left( {\cos x} \right) + {e^{\pi x}} \Rightarrow g\left( x \right) > m\,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]} g\left( x \right)\)

Ta có \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) + \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} + \pi {e^{\pi x}}\)

Với \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x > 0\\\cos x > 0\end{array} \right.\), theo giả thiết ta có \(f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow g'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]} g\left( x \right) = g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) - \ln \left( {\cos 0} \right) + {e^0} = f\left( 0 \right) + 1 \Leftrightarrow m \le f\left( 0 \right) + 1\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.