Cho các số thực \(a,b\) thỏa mãn \(0 < b < a < 1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Cho các số thực \(a,b\) thỏa mãn \(0 < b < a < 1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = - 3{\log _{{a^4}}}\dfrac{a}{b} + \log _b^2\left( {ab} \right).\)
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Sử dụng các công thức
\(\begin{array}{l}{\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\,\,\left( {x,y > 0,\,\,0 < a \ne 1} \right)\\{\log _{{a^n}}}{b^m} = \dfrac{m}{n}{\log _a}b\,\,\left( {0 < a \ne 1,\,\,b > 0} \right)\end{array}\)
Đặt \(t = {\log _b}a\), xét hàm số \(f\left( t \right)\), lập BBT và tìm GTNN.
\(\begin{array}{l}P = - 3{\log _{{a^4}}}\dfrac{a}{b} + \log _b^2\left( {ab} \right) = - \dfrac{3}{4}{\log _a}\dfrac{a}{b} + {\left( {{{\log }_b}a + {{\log }_b}b} \right)^2}\\ = - \dfrac{3}{4}\left( {1 - {{\log }_a}b} \right) + {\left( {{{\log }_b}a + 1} \right)^2} = - \dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{{4{{\log }_b}a}} + \log _b^2a + 2{\log _b}a + 1\\ = \log _b^2a + 2{\log _b}a + \dfrac{3}{{4{{\log }_b}a}} + \dfrac{1}{4}\end{array}\)
Đặt \(t = {\log _b}a < {\log _b}b = 1\) ta có \(P = {t^2} + 2t + \dfrac{3}{{4t}} + \dfrac{1}{4} = f\left( t \right)\)
Ta có \(f'\left( t \right) = 2t + 2 - \dfrac{3}{{4{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{8{t^3} + 8{t^2} - 3}}{{4{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2}\)
BBT:
Từ BBT \( \Rightarrow \min f\left( t \right) = f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = 3 \Rightarrow {P_{\min }} = 3\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
