Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\). Hình chiếu vuông góc

Câu hỏi số 319827:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\). Hình chiếu vuông góc của \(A'\) xuống \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm của \(AB\). Mặt bên \(\left( {ACC'A'} \right)\) tạo với đáy góc \({45^o}\). Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).

A. \(\dfrac{{3{a^3}}}{{16}}\).

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

C. \(\dfrac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

D. \(\dfrac{{{a^3}}}{{16}}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:319827

Phương pháp giải

+) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\). Gọi \(K\) là trung điểm của \(AM\), chứng minh \(\angle \left( {\left( {ACC'A'} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {A'K;KH} \right)\)

Giải chi tiết

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC \Rightarrow BM \bot AC\).

Gọi \(K\) là trung điểm của \(AM\). Ta có \(KH\) là đường trung bình của tam giacx \(ABM\)

\( \Rightarrow KH//BM \Rightarrow KH \bot AC\) và \(KH = \dfrac{1}{2}BM = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot A'H\,\,\left( {gt} \right)\\AC \bot KH\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {AKH} \right) \Rightarrow C \bot A'K\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {ACC'A'} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AC\\\left( {ACC'A'} \right) \supset A'K \bot AC\\\left( {ABC} \right) \supset KH \bot AC\end{array} \right.\\ \Rightarrow \angle \left( {\left( {ACC'A'} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {A'K;KH} \right) = \angle A'KH = {45^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta A'KH\) vuông cân tại \(H \Rightarrow A'H = KH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

\( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = A'H.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3{a^3}}}{{16}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.