Tìm số giá trị nguyên của tham số \(m \in \left( { - 10;10} \right)\) để phương trình \({\left( {\sqrt

Câu hỏi số 321206:

Vận dụng

Tìm số giá trị nguyên của tham số \(m \in \left( { - 10;10} \right)\) để phương trình \({\left( {\sqrt {10} + 1} \right)^{{x^2}}} + m{\left( {\sqrt {10} - 1} \right)^{{x^2}}} = {2.3^{{x^2} + 1}}\) có đúng hai nghiệm phân biệt.

A. \(14\)

B. \(15\)

C. \(13\)

D. \(16\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:321206

Phương pháp giải

+) Chia cả 2 vế của phương trình cho \({3^{{x^2}}}\).

+) Đặt ẩn phụ \(t = {\left( {\dfrac{{\sqrt {10} + 1}}{3}} \right)^{{x^2}}} \ge 1\), đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn t.

+) Để phương trình ban đầu có đúng hai nghiệm phân biệt thì phương trình bậc hai ẩn t hoặc có nghiệm kép \(t > 1\) hoặc có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn \({t_1} < 1 < {t_2} \Leftrightarrow \left( {{t_1} - 1} \right)\left( {{t_2} - 1} \right) < 0\).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\left( {\sqrt {10} + 1} \right)^{{x^2}}} + m{\left( {\sqrt {10} - 1} \right)^{{x^2}}} = {2.3^{{x^2} + 1}}\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{\sqrt {10} + 1}}{3}} \right)^{{x^2}}} + m{\left( {\dfrac{{\sqrt {10} - 1}}{3}} \right)^{{x^2}}} = 6\end{array}\)

Ta có nhận xét: \({\left( {\dfrac{{\sqrt {10} + 1}}{3}} \right)^{{x^2}}}.{\left( {\dfrac{{\sqrt {10} - 1}}{3}} \right)^{{x^2}}} = {\left( {\dfrac{{10 - 1}}{9}} \right)^{{x^2}}} = 1\).

Do đó đặt \(t = {\left( {\dfrac{{\sqrt {10} + 1}}{3}} \right)^{{x^2}}} \ge 1 \Rightarrow {\left( {\dfrac{{\sqrt {10} - 1}}{3}} \right)^{{x^2}}} = \dfrac{1}{t}\).

Phương trình trở thành \(t + \dfrac{m}{t} = 6 \Leftrightarrow {t^2} - 6t + m = 0\) (*).

Để phương trình ban đầu có đúng hai nghiệm phân biệt thì phương trình (*)

TH1: Phương trình (*) có nghiệm kép \(t > 1\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {3^2} - m = 0\\ - \dfrac{b}{{2a}} = \dfrac{6}{2} = 3 > 1\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 9\).

TH2: Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn \({t_1} < 1 < {t_2} \Leftrightarrow \left( {{t_1} - 1} \right)\left( {{t_2} - 1} \right) < 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\\left( {{t_1} - 1} \right)\left( {{t_2} - 1} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - m > 0\\{t_1}{t_2} - \left( {{t_1} + {t_2}} \right) + 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 9\\m - 6 + 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 5\).

Kết hợp 2 TH và kết hợp điều kiện của bài toán ta có \(\left\{ \begin{array}{l}m \in \left( { - 10;5} \right) \cup \left\{ 9 \right\}\\m \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ { - 9; - 8;...;4;9} \right\} \Rightarrow \) Có 15 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.