Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a,\,\,SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA

Câu hỏi số 321323:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a,\,\,SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\sqrt {15} \). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(CD\).

a) Chứng minh \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\).

b) Tính góc giữa \(SM\) và \(\left( {ABCD} \right)\).

c) Tính khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SMN} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:321323

Phương pháp giải

a) \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot \left( P \right)\\a \subset \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right) \bot \left( Q \right)\).

b) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng đó.

c) Sử dụng phương pháp đổi đỉnh tính khoảng cách, so sánh \(d\left( {C;\left( {SMN} \right)} \right)\) và \(d\left( {A;\left( {SMN} \right)} \right)\).

Giải chi tiết

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\,\,\left( {gt} \right)\\BD \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\).

Mà \(BD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\).

b) \(AM\) là hình chiếu của \(SM\) trên \(\left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SM;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SM;AM} \right) = \angle SAM\).

Xét tam giác vuông \(ABM\) ta có: \(AM = \sqrt {A{B^2} + B{M^2}} = a\sqrt 5 \).

Xét tam giác vuông \(SAM\) ta có: \(\tan \angle SAM = \dfrac{{AM}}{{SA}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{{a\sqrt {15} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \angle SAM = {30^0}\).

c) Gọi \(I = AC \cap MN \Rightarrow I\) là trung điểm của \(OC\).

Ta có : \(AC \cap \left( {SMN} \right) = I \Rightarrow \dfrac{{d\left( {C;\left( {SMN} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SMN} \right)} \right)}} = \dfrac{{CI}}{{AI}} = \dfrac{1}{3}\)

\( \Rightarrow d\left( {C;\left( {SMN} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}d\left( {A;\left( {SMN} \right)} \right)\).

Ta có \(MN//BD\), mà \(BD \bot \left( {SAC} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow MN \bot \left( {SAC} \right)\).

Trong \(\left( {SAC} \right)\) kẻ \(AH \bot SI\,\,\left( {H \in SI} \right)\) \( \Rightarrow MN \bot AH\).

\( \Rightarrow AH \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SMN} \right)} \right) = AH\).

Ta có \(AC = 2a\sqrt 2 \Rightarrow AI = \dfrac{3}{4}AC = \dfrac{3}{4}.2a\sqrt 2 = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}\)

Xét tam giác vuông \(SAI\) ta có : \(AH = \dfrac{{SA.AI}}{{\sqrt {S{A^2} + A{I^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt {15} .\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt {15{a^2} + \dfrac{{9{a^2}}}{2}} }} = \dfrac{{3a\sqrt {65} }}{{13}}\).

Vậy \(d\left( {C;\left( {SMN} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}AH = \dfrac{{a\sqrt {65} }}{3}\)

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.