Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông đỉnh \(A\),\(AB = AC = a.\) Hình chiếu

Câu hỏi số 321634:

Vận dụng

Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông đỉnh \(A\),\(AB = AC = a.\) Hình chiếu vuông góc của \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là điểm \(H\) thuộc đoạn \(BC.\) Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) bằng \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\) Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng

A. \(\dfrac{{{a^3}}}{3}\).

B. \(\dfrac{{{a^3}}}{2}\).

C. \(\dfrac{{{a^3}}}{6}\).

D. \(\dfrac{{{a^3}}}{4}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:321634

Phương pháp giải

+ Chỉ ra rằng \(A'H \bot \left( {ABC} \right)\) với \(H\) là trung điểm của \(BC\)

+ Xác định khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) như sau

\(d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = d\left( {A',\left( {BCC'B'} \right)} \right) = A'E\) sao cho \(A'E \bot \left( {BCC'B'} \right)\)

+ Tính \(A'H\) dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông

+ Tính thể tích khối lăng trụ có chiều cao \(h\) và diện tích đáy \(S\) là \(V = h.S\)

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(A'\) đến \(BC\) khi đó \(A'H \bot \left( {ABC} \right)\) suy ra \(A'H \bot BC\) mà ta có \(AB = AC \Rightarrow A'B = A'C\) nên \(H\) là trung điểm của \(BC.\) Suy ra \(AH \bot BC\)

Lấy \(D\) là trung điểm của \(B'C'\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\A'H \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AA'DH} \right)\)

Kẻ \(A'E \bot DH\) tại \(E\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot A'E\,\left( {do\,BC \bot \left( {AA'DH} \right)} \right)\\DH \bot A'E\end{array} \right. \Rightarrow A'E \bot \left( {BCC'B'} \right)\)

Suy ra \(d\left( {A';\left( {BCC'B'} \right)} \right) = A'E\) , lại có \(AA'//\left( {BCC'B'} \right)\) nên

\(d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = d\left( {A';\left( {BCC'B'} \right)} \right) = A'E = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Ta có \(A'D = AH = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Xét tam giác \(A'DH\) vuông tại \(A'\) có \(\dfrac{1}{{A'{E^2}}} = \dfrac{1}{{A'{H^2}}} + \dfrac{1}{{A'{D^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{3}{{{a^2}}} = \dfrac{1}{{A'{H^2}}} + \dfrac{2}{{{a^2}}} \Leftrightarrow A'H = a\)

Thể tích khối lăng trụ là \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'H.{S_{ABC}} = a.\dfrac{1}{2}a.a = \dfrac{{{a^3}}}{2}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.