Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông đỉnh \(A\),\(AB = AC = a.\) Hình chiếu vuông góc của \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là điểm \(H\) thuộc đoạn \(BC.\) Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) bằng \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\) Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng
Câu 321634: Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông đỉnh \(A\),\(AB = AC = a.\) Hình chiếu vuông góc của \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là điểm \(H\) thuộc đoạn \(BC.\) Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) bằng \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\) Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng
A. \(\dfrac{{{a^3}}}{3}\).
B. \(\dfrac{{{a^3}}}{2}\).
C. \(\dfrac{{{a^3}}}{6}\).
D. \(\dfrac{{{a^3}}}{4}\).
Quảng cáo
+ Chỉ ra rằng \(A'H \bot \left( {ABC} \right)\) với \(H\) là trung điểm của \(BC\)
+ Xác định khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) như sau
\(d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = d\left( {A',\left( {BCC'B'} \right)} \right) = A'E\) sao cho \(A'E \bot \left( {BCC'B'} \right)\)
+ Tính \(A'H\) dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông
+ Tính thể tích khối lăng trụ có chiều cao \(h\) và diện tích đáy \(S\) là \(V = h.S\)
-
Đáp án : B(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi \(H\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(A'\) đến \(BC\) khi đó \(A'H \bot \left( {ABC} \right)\) suy ra \(A'H \bot BC\) mà ta có \(AB = AC \Rightarrow A'B = A'C\) nên \(H\) là trung điểm của \(BC.\) Suy ra \(AH \bot BC\)
Lấy \(D\) là trung điểm của \(B'C'\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\A'H \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AA'DH} \right)\)
Kẻ \(A'E \bot DH\) tại \(E\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot A'E\,\left( {do\,BC \bot \left( {AA'DH} \right)} \right)\\DH \bot A'E\end{array} \right. \Rightarrow A'E \bot \left( {BCC'B'} \right)\)
Suy ra \(d\left( {A';\left( {BCC'B'} \right)} \right) = A'E\) , lại có \(AA'//\left( {BCC'B'} \right)\) nên
\(d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = d\left( {A';\left( {BCC'B'} \right)} \right) = A'E = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Ta có \(A'D = AH = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Xét tam giác \(A'DH\) vuông tại \(A'\) có \(\dfrac{1}{{A'{E^2}}} = \dfrac{1}{{A'{H^2}}} + \dfrac{1}{{A'{D^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{3}{{{a^2}}} = \dfrac{1}{{A'{H^2}}} + \dfrac{2}{{{a^2}}} \Leftrightarrow A'H = a\)
Thể tích khối lăng trụ là \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'H.{S_{ABC}} = a.\dfrac{1}{2}a.a = \dfrac{{{a^3}}}{2}\)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com