Cho góc \(\angle xAy = {60^o}\) và \(\left( O \right)\) là đường tròn tiếp xúc với tia Ax tại B và
Cho góc \(\angle xAy = {60^o}\) và \(\left( O \right)\) là đường tròn tiếp xúc với tia Ax tại B và tiếp xúc với tia Ay tại C. Trên cung nhỏ \(BC\) của đường tròn \(\left( O \right)\) lấy điểm M và gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB.
a) Chứng minh tứ giác CDME là tứ giác nội tiếp.
b) Tính số đo của góc \(\angle EDF\).
c) Chứng minh rằng \(M{D^2} = ME.MF\).
Quảng cáo
a) Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^o}\) là tứ giác nội tiếp.
b) Tách \(\angle EDF\) thành tổng 2 góc nhỏ, từ đó sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp, tính chất tiếp tuyến, tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau đẻ biến dổi hai góc nhỏ đó thành tổng góc có thể tính được.
c) Chứng minh \(\Delta MDE \sim \Delta MFD\) từ đó suy ra đpcm.
a) Chứng minh tứ giác CDME là tứ giác nội tiếp.
Ta có: \(\angle CDM = {90^o}\,\,\,\left( {MD \bot BC} \right)\) và \(\angle CEM = {90^o}\,\,\left( {ME \bot AC} \right)\)
\( \Rightarrow \angle CDM + \angle CEM = {180^o}\)
\( \Rightarrow \) CDME là tứ giác nội tiếp (dhnb). (đpcm)
b) Tính số đo của góc \(\angle EDF\).
Ta có \(\angle MDE = \angle MCE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC).
Mà \(\angle MCE = \angle MBC\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung MC của \(\left( O \right)\)) \( \Rightarrow \angle MDE = \angle MBC\,\,\,\left( { = \angle MCE} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\)
Tương tự câu a) ta cũng có BDMF là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \angle MDF = \angle MBF\,\,\left( { = \angle MBC} \right)\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
\(\Delta ABC\) có \(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và \(\angle BAC = {60^o}\,\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \Delta ABC\) là tam giác đều.
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \angle EDF = \angle MDE + \angle MDF = \angle MBC + \angle MBF = \angle CBA = {60^o}\) (\(\Delta ABC\) đều)
c) Chứng minh rằng \(M{D^2} = ME.MF\).
Ta có \(\angle MED = \angle MCD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MD).
Mà \(\angle MCD = \angle MBF\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BM)
Kết hợp (2) \( \Rightarrow \angle MED = \angle MDF\,\,\,\left( { = \angle MBF} \right)\)
Ta có \(\angle MBC = \angle MFD\) (BDMF là tứ giác nội tiếp, hai góc nội tiếp cùng chắn cung MD)
Kết hợp (1) \( \Rightarrow \angle MDE = \angle MFD\,\,\,\left( {\angle MBC} \right).\)
Xét \(\Delta MDE\) và \(\Delta MFD\) ta có:
\(\begin{array}{l}\angle MED = \angle MDF\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle MDE = \angle MFD\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta MDE \sim \Delta MFD\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{MD}}{{MF}} = \frac{{ME}}{{MD}} \Rightarrow M{D^2} = ME.MF\,\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
