Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là một tam giác vuông cân tại \(B\) với trọng tâm
Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là một tam giác vuông cân tại \(B\) với trọng tâm \(G\), cạnh bên \(SA\) tạo với đáy\(\left( {ABC} \right)\) một góc \({30^0}\). Biết hai mặt phẳng \(\left( {SBG} \right)\) và \(\left( {SCG} \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
+) Gọi \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,SC,\,\,BC,\,\,AC\). Chứng minh \(\angle \left( {SA;BC} \right) = \angle \left( {NQ;MQ} \right)\).
+) Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(MNQ\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBG} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SCG} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SBG} \right) \cap \left( {SCG} \right) = SG\end{array} \right. \Rightarrow SG \bot \left( {ABC} \right)\).
Gọi \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,SC,\,\,BC,\,\,AC\).
Đặt \(AB = BC = 1 \Rightarrow AC = \sqrt 2 \).
Ta có: \(\angle \left( {SA;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SA;GA} \right) = \angle SAG = {30^0}\).
Ta có \(NQ\) là đường trung bình của tamg giác \(SAC \Rightarrow NQ//SA\).
\(MQ\) là đường trung bình của tam giác \(ABC \Rightarrow MQ//BC\).
\( \Rightarrow \angle \left( {SA;BC} \right) = \angle \left( {NQ;MQ} \right)\).
Ta có: \(AP = \sqrt {1 + \frac{1}{4}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2} = CM \Rightarrow AG = \frac{2}{3}AP = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
\( \Rightarrow SG = AG.\tan {30^0} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{\sqrt {15} }}{9};\,\,SA = \frac{{AG}}{{\cos {{30}^0}}} = \frac{{2\sqrt {15} }}{9}\).
\( \Rightarrow NQ = \frac{1}{2}SA = \frac{{\sqrt {15} }}{9}\) và \(MQ = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}\).
Ta có \(MC = \frac{{\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow GC = \frac{2}{3}MC = \frac{{\sqrt 5 }}{3};\,\,GM = \frac{1}{3}MC = \frac{{\sqrt 5 }}{6}\).
Áp dụng định lí Pytago ta có: \(SC = \sqrt {S{G^2} + G{C^2}} = \frac{{2\sqrt {15} }}{9};\,\,SM = \sqrt {S{G^2} + G{M^2}} = \frac{{\sqrt {105} }}{{18}}\).
Xét tam giác \(SMC\) ta có: \(M{N^2} = \frac{{S{M^2} + M{C^2}}}{2} - \frac{{S{C^2}}}{4} = \frac{{65}}{{108}} \Leftrightarrow MN = \frac{{\sqrt {195} }}{{18}}\).
Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(MNQ\) :
\(\cos \angle MQN = \frac{{M{Q^2} + N{Q^2} - M{N^2}}}{{2.MQ.NQ}} = \frac{{\frac{1}{4} + \frac{5}{{27}} - \frac{{65}}{{108}}}}{{2.\frac{1}{2}.\frac{{\sqrt {15} }}{9}}} = \frac{{ - \frac{1}{6}}}{{\frac{{\sqrt {15} }}{9}}} = - \frac{{\sqrt {15} }}{{10}} < 0\).
Vậy \(\cos \angle \left( {NQ;MQ} \right) = \frac{{15}}{{10}} = \cos \angle \left( {SA;BC} \right)\).
Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn nên cosin của góc giữa hai đường thẳng là giá trị dương.
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
