Cho hai số thực \(a > 1,\,\,b > 1\). Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình

Câu hỏi số 322544:

Vận dụng cao

Cho hai số thực \(a > 1,\,\,b > 1\). Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({a^x}{b^{{x^2} - 1}} = 1\). Trong trường hợp biểu thức \(S = {\left( {\frac{{{x_1}{x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}}} \right)^2} - 4{x_1} - 4{x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất, mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. \(a < b\)

B. \(a \ge b\)

C. \(ab = 4\)

D. \(ab = 2\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:322544

Phương pháp giải

+) Lấy loganepe hai vế, đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn \(x\).

+) Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm. Áp dụng định lí Vi-ét.

+) Sử dụng BĐT Cô-si cho 3 số không âm đánh giá biểu thức \(S\).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{a^x}{b^{{x^2} - 1}} = 1 \Leftrightarrow {a^x}{b^{{x^2}}} = b \Leftrightarrow \ln \left( {{a^x}{b^{{x^2}}}} \right) = \ln b\\ \Leftrightarrow x\ln a + {x^2}\ln b = \ln b \Leftrightarrow {x^2}\ln b + x\ln a - \ln b = 0\end{array}\)

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\ln b \ne 0\,\,\left( {luon\,\,dung\,\,do\,b > 1} \right)\\{\ln ^2}a + 4{\ln ^2}b \ge 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array} \right.\)

Do đó phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi \(a,b > 1\). Gọi \({x_1},{x_2}\) là 2 nghiệm phân biệt của phương trình đã cho. Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - \ln a}}{{\ln b}} = - {\log _b}a\\{x_1}{x_2} = \frac{{ - \ln b}}{{\ln b}} = - 1\end{array} \right.\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}S = {\left( {\frac{{{x_1}{x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}}} \right)^2} - 4{x_1} - 4{x_2} = {\left( {\frac{{{x_1}{x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}}} \right)^2} - 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\\S = {\left( {\frac{{ - 1}}{{ - {{\log }_b}a}}} \right)^2} + 4{\log _b}a = \frac{1}{{\log _b^2a}} + 4{\log _b}a\end{array}\)

Do \(a,b > 1 \Rightarrow {\log _b}a > {\log _b}1 = 0\).

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(S = \frac{1}{{\log _b^2a}} + 4{\log _b}a = \frac{1}{{\log _b^2a}} + 2{\log _b}a + 2{\log _b}a \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{{\log _b^2a}}.2{{\log }_b}a.2{{\log }_b}a}} = 3\sqrt[3]{4}\).

\( \Rightarrow {S_{\min }} = 3\sqrt[3]{4}\). Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{1}{{\log _b^2a}} = 2{\log _b}a \Leftrightarrow \log _b^3a = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {\log _b}a = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}} \Leftrightarrow a = {b^{\frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}}}\)

Ta có: \({b^{\frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}}} < {b^1} = b\,\,\left( {do\,\,b > 1} \right) \Rightarrow a < b\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.