Cho hai số thực thỏa mãn \({x^2} + {y^2} = 1\). Đặt \(P = \dfrac{{{x^2} + 6xy}}{{1 + 2xy + 2{y^2}}}\).
Cho hai số thực thỏa mãn \({x^2} + {y^2} = 1\). Đặt \(P = \dfrac{{{x^2} + 6xy}}{{1 + 2xy + 2{y^2}}}\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = \sin t\\y = \cos t\end{array} \right.\), khi \({\cos ^2}t \ne 0\) chia cả tử và mẫu cho \({\cos ^2}t\) và đặt \(u = \tan t\), đưa \(P\) về dạng \(P = f\left( u \right)\). Lập BBT và kết luận.
Do \({x^2} + {y^2} = 1 \Rightarrow \exists t\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}x = \sin t\\y = \cos t\end{array} \right.\).
Khi đó ta có \(P = \dfrac{{{{\sin }^2}t + 6\sin t\cos t}}{{1 + 2\sin t{\mathop{\rm cost}\nolimits} + 2co{s^2}t}}\).
TH1: \(\cos t = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}t = 1 \Rightarrow P = \dfrac{1}{1} = 1\).
TH2: \(\cos t \ne 0\). Chia cả tử và mẫu của \(P\) cho \({\cos ^2}t\) ta có:
\(P = \dfrac{{{{\tan }^2}t + 6\tan t}}{{{{\tan }^2}t + 1 + 2\tan t + 2}} = \dfrac{{{{\tan }^2}t + 6\tan t}}{{{{\tan }^2}t + 2\tan t + 3}}\)
Đặt \(u = \tan t \Rightarrow P = \dfrac{{{u^2} + 6u}}{{{u^2} + 2u + 3}} = f\left( u \right)\).
Ta có
\(\begin{array}{l}f'\left( u \right) = \dfrac{{\left( {2u + 6} \right)\left( {{u^2} + 2u + 3} \right) - \left( {{u^2} + 6u} \right)\left( {2u + 2} \right)}}{{{{\left( {{u^2} + 2u + 3} \right)}^2}}}\\f'\left( t \right) = \dfrac{{ - 4{u^2} + 6u + 18}}{{{{\left( {{u^2} + 2u + 3} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = - \dfrac{3}{2}\\u = 3\end{array} \right.\end{array}\)
BBT:
Dựa vào BBT ta có \(\min f\left( t \right) = - 3,\,\,\max f\left( t \right) = \dfrac{3}{2}\).
Kết hợp 2 trường hợp ta có \(\min P = - 3,\,\max P = \dfrac{3}{2}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
