Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {x + 6} - a}}{{\sqrt {x + 1} -

Câu hỏi số 322723:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {x + 6} - a}}{{\sqrt {x + 1} - 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ne 3\\{x^3} - \left( {2b + 1} \right)x\,\,\,khi\,\,x = 3\end{array} \right.\). Trong đó \(a\) và \(b\)là các tham số thực. Biết hàm số liên tục tại \(x = 3\). Số nhỏ hơn trong hai số \({\rm{a}}\) và \(b\) là?

A. \(2\)

B. \(3\)

C. \(4\)

D. \(5\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:322723

Phương pháp giải

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) \,;\,\,f\left( 3 \right)\)

Giải chi tiết

Ta có: \(f\left( 3 \right) = {3^3} - 3\left( {2b + 1} \right) = 24 - 6b\).

Đặt \(g\left( x \right) = \sqrt {x + 6} - a.\) Ta có: \(g\left( 3 \right) = 3 - a\).

Ta thấy nếu \(g\left( 3 \right) \ne 0 \Leftrightarrow a \ne 3\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{g\left( x \right)}}{{\sqrt {x + 1} - 2}} = \infty \) nên hàm số không thể liên tục tai \(x = 3.\)

Nếu \(g\left( 3 \right) = 0 \Leftrightarrow a = 3\) thì

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {x + 6} - 3}}{{\sqrt {x + 1} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {\sqrt {x + 6} - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 6} + 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt {x + 1} - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)\left( {\sqrt {x + 6} + 3} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 6} + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {x + 1} + 2}}{{\sqrt {x + 6} + 3}} = \frac{2}{3}.\end{array}\)

Hàm số liên tục tại \(x = 3\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) \Leftrightarrow 24 - 6b = \frac{2}{3} \Leftrightarrow b = \frac{{35}}{9}\) .

Số nhỏ hơn là \(a = 3\) .

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.