Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt[3]{x} - 1}}{{\sqrt x - 1}}{\rm{\,\,\,\,\,\,\,\,khi

Câu hỏi số 323631:

Thông hiểu

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt[3]{x} - 1}}{{\sqrt x - 1}}{\rm{\,\,\,\,\,\,\,\,khi }}\,\,\,x > 1\\\frac{{\sqrt[3]{{1 - x}} + 2}}{{x + 2}}{\rm{\,\,\,khi }}\,\,\,x \le 1\end{array} \right.\). Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

A. Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\)

B. Hàm số không liên tục trên \(\mathbb{R}\)

C. Hàm số không liên tục trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)

D. Hàm số gián đoạn tại các điểm \(x = 1\) .

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:323631

Phương pháp giải

Xét tính liên tục hàm số tại \(x = 1\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).\)

Giải chi tiết

Hàm số xác định và liên tục với mọi \(x \in \left( { - \infty ;\,\,1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\)

Xét tính liên tục của hàm số tại điểm \(x = 1:\)

\(\begin{array}{l}f\left( 1 \right) = \frac{{0 + 2}}{{1 + 2}} = \frac{2}{3}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt[3]{x} - 1}}{{\sqrt x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1}} = \frac{2}{3}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt[3]{{1 - x}} + 2}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt[3]{{1 - 1}} + 2}}{{1 + 2}} = \frac{2}{3}\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1) = \frac{2}{3}.\end{array}\) ;

\( \Rightarrow \) Hàm số liên tục tại điểm \(x = 1\).

Vậy hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.