Trong không gian \(Oxyz,\) cho điểm \(A\left( {1;0;0} \right),\,B\left( {0; - 1;0} \right),\,C\left( {0;0;1}

Câu hỏi số 325367:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz,\) cho điểm \(A\left( {1;0;0} \right),\,B\left( {0; - 1;0} \right),\,C\left( {0;0;1} \right),\,D\left( {1; - 1;1} \right).\) Mặt cầu tiếp xúc 6 cạnh của tứ diện \(ABCD\) cắt \(\left( {ACD} \right)\) theo thiết diện có diện tích \(S\). Chọn mệnh đề đúng?

A. \(S = \dfrac{\pi }{3}\)

B. \(S = \dfrac{\pi }{6}\)

C. \(S = \dfrac{\pi }{4}\)

D. \(S = \dfrac{\pi }{5}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:325367

Phương pháp giải

+) Chứng minh Tứ diện \(ABCD\) là tứ diện đều \( \Rightarrow \) Tâm mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của tứ diện chính là tâm của tứ diện đều.

+) Xác định tọa độ tâm I của tứ diện đều và bán kính mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của tứ diện.

+) Lập phương trình mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\).

+) Đưa về bài toán tương giao giữa mặt cầu và mặt phẳng.

Giải chi tiết

Dễ dàng tính được \(AB = BC = CD = DA = \sqrt 2 \Rightarrow \) Tứ diện \(ABCD\) là tứ diện đều.

\( \Rightarrow \) Tâm mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của tứ diện chính là tâm của tứ diện đều.

Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,CD \Rightarrow M\left( {\dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2};0} \right),\,\,N\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{{ - 1}}{2};1} \right)\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(MN \Rightarrow I\left( {\dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\) là tâm của tứ diện \(ABCD\).

Bán kính mặt cầu cần tìm là \(R = d\left( {I;AB} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IA} ;\overrightarrow {AB} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;0;1} \right)\\\overrightarrow {AD} = \left( {0; - 1;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {1;1;1} \right)\) là 1 VTPT của \(\left( {ACD} \right)\).

\( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( {ACD} \right)\) là : \(\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right) + \left( {y + \dfrac{1}{2}} \right) + \left( {z - \dfrac{1}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - \dfrac{1}{2} = 0\).

\(d\left( {I;\left( {ACD} \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}} \right|}}{{\sqrt 3 }} = 0 \Rightarrow I \in \left( {ACD} \right)\). Do đó mặt cầu tiếp xúc 6 cạnh của tứ diện \(ABCD\) cắt \(\left( {ACD} \right)\) theo thiết diện là đường tròn lớn có bán kính \(R = \dfrac{{\sqrt 6 }}{6} \Rightarrow S = \pi {R^2} = \dfrac{\pi }{6}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.