Cho một miếng tôn hình tròn tâm \(O\), bán kính \(R\). Cắt bỏ một phần miếng tôn theo một hình
Cho một miếng tôn hình tròn tâm \(O\), bán kính \(R\). Cắt bỏ một phần miếng tôn theo một hình quạt \(OAB\) và gò phần còn lại thành một hình nón đỉnh \(O\) không có đáy (\(OA\) trùng với \(OB\)). Gọi \(S\) và \(S'\) lần lượt là diện tích của miếng tôn hình tròn ban đầu và diện tích của miếng tôn còn lại. tìm tỉ số \(\frac{{S'}}{S}\) để thể tích của khối nón đạt giá trị lớn nhất.
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Lập hàm tinh thể tích khối nón, xét hàm suy ra GTLN.
- Tính diện tích \(S,S'\) với chú ý \(S\) là diện tích hình tròn và \(S'\) là diện tích xung quanh của hình nón
Diện tích hình tròn \(S = \pi {R^2}\).
Gọi bán kính đường tròn đáy hình nón là \(r\,\,\left( {0 < r < R} \right)\) ta có \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} \).
Xét hàm \(f\left( r \right) = {r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} \) có \(f'\left( r \right) = 2r\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}.\dfrac{{ - r}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} = \dfrac{{2r\left( {{R^2} - {r^2}} \right) - {r^3}}}{{\left( {{R^2} - {r^2}} \right)\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} = \dfrac{{r\left( {2{R^2} - 3{r^2}} \right)}}{{\left( {{R^2} - {r^2}} \right)\sqrt {{R^2} - {r^2}} }}\)
\(f'\left( r \right) = 0 \Leftrightarrow r = \dfrac{{R\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\) (do \(0 < r < R\)).
Bảng biến thiên:
Do đó thể tích \(V\) đạt GTLN tại \(r = \dfrac{{R\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\). Khi đó \(S' = {S_{xq}} = \pi rl = \pi .\dfrac{{R\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}.R = \dfrac{{\pi {R^2}\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\).
Vậy \(\dfrac{{S'}}{S} = \dfrac{{\pi {R^2}\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}:\pi {R^2} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
