Cho một miếng tôn hình tròn tâm \(O\), bán kính \(R\). Cắt bỏ một phần miếng tôn theo một hình

Câu hỏi số 325946:

Vận dụng

Cho một miếng tôn hình tròn tâm \(O\), bán kính \(R\). Cắt bỏ một phần miếng tôn theo một hình quạt \(OAB\) và gò phần còn lại thành một hình nón đỉnh \(O\) không có đáy (\(OA\) trùng với \(OB\)). Gọi \(S\) và \(S'\) lần lượt là diện tích của miếng tôn hình tròn ban đầu và diện tích của miếng tôn còn lại. tìm tỉ số \(\frac{{S'}}{S}\) để thể tích của khối nón đạt giá trị lớn nhất.

A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{3}\)

B. \(\frac{1}{4}\)

C. \(\frac{1}{3}\)

D. \(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:325946

Phương pháp giải

- Lập hàm tinh thể tích khối nón, xét hàm suy ra GTLN.

- Tính diện tích \(S,S'\) với chú ý \(S\) là diện tích hình tròn và \(S'\) là diện tích xung quanh của hình nón

Giải chi tiết

Diện tích hình tròn \(S = \pi {R^2}\).

Gọi bán kính đường tròn đáy hình nón là \(r\,\,\left( {0 < r < R} \right)\) ta có \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} \).

Xét hàm \(f\left( r \right) = {r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} \) có \(f'\left( r \right) = 2r\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}.\dfrac{{ - r}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} = \dfrac{{2r\left( {{R^2} - {r^2}} \right) - {r^3}}}{{\left( {{R^2} - {r^2}} \right)\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} = \dfrac{{r\left( {2{R^2} - 3{r^2}} \right)}}{{\left( {{R^2} - {r^2}} \right)\sqrt {{R^2} - {r^2}} }}\)

\(f'\left( r \right) = 0 \Leftrightarrow r = \dfrac{{R\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\) (do \(0 < r < R\)).

Bảng biến thiên:

Do đó thể tích \(V\) đạt GTLN tại \(r = \dfrac{{R\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\). Khi đó \(S' = {S_{xq}} = \pi rl = \pi .\dfrac{{R\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}.R = \dfrac{{\pi {R^2}\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\).

Vậy \(\dfrac{{S'}}{S} = \dfrac{{\pi {R^2}\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}:\pi {R^2} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.