Từ điểm S nằm ngoài (O; R), vẽ hai tiếp tuyến SA, SB (O) (B, C là hai tiếp điểm) và cát

Câu hỏi số 328489:

Vận dụng

Từ điểm S nằm ngoài (O; R), vẽ hai tiếp tuyến SA, SB (O) (B, C là hai tiếp điểm) và cát tuyến SCD (C nằm giữa S và D, tia SD nằm trong góc ASO).

a) Chứng minh: SAOB là tứ giác nội tiếp và: \(S{A^2} = SD.SC.\)

b) Gọi H là giao điểm AB và OS. Chứng minh rằng: \(\angle DCO = \angle SHC.\)

c) Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh: \(\Delta IAC \sim \Delta ICB.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:328489

Phương pháp giải

a) Chứng minh đây là tứ giác có 2 góc đối vuông, từ đó sử dụng tam giác đồng dạng suy ra hệ thức.

b) Chứng minh OICH là tứ giác nội tiếp, tam giác OCD cân.

c) Gọi P là giao điểm SI và AP, chứng minh rằng \(\angle ICA = \angle CBI.\)

Giải chi tiết

a) Chứng minh: SAOB là tứ giác nội tiếp và: \(S{A^2} = SD.SC.\)

Ta có \(SA,\,\,SB\) là hai tiếp tuyến của \(\left( {O;R} \right)\) tại \(A,\,B\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle SAO = \angle SBO = {90^0}\\ \Rightarrow \angle SAO + \angle SBO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow SAOB\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

Ta có: \(\angle SAC = \angle ADS\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC)

Xét \(\Delta SAC\) và \(\Delta SDA\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle S\,\,\,chung\\\angle SAC = \angle SDA\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta SAC \sim \Delta SDA\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{SA}}{{SD}} = \frac{{SC}}{{SA}} \Leftrightarrow S{A^2} = SD.SC\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

b) Gọi H là giao điểm AB và OS. Chứng minh rằng: \(\angle DCO = \angle SHC.\)

Ta có: \(OC = OD = R \Rightarrow \Delta OCD\) cân tại \(O \Rightarrow \angle CDO = \angle DCO\) (hai góc kề đáy).

Có \(SA = SB\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và \(OA = OB = R \Rightarrow SO\) là đường trung trực của \(AB \Rightarrow SO \bot AB = \left\{ H \right\}.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta SAO\) có đường cao \(AH\) là có: \(S{A^2} = SH.SO\)

\( \Rightarrow SD.SC = SH.SO\,\,\left( { = S{A^2}} \right) \Rightarrow \frac{{SD}}{{SH}} = \frac{{SO}}{{SC}}\)

Xét \(\Delta SOD\) và \(\Delta SCH\) ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{SD}}{{SH}} = \frac{{SO}}{{SC}}\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle S\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta SOD \sim \Delta SCH\,\,\left( {c - g - c} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle SHC = \angle DCO\) (hai góc tương ứng).

c) Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh: \(\Delta IAC \sim \Delta ICB.\)

Gọi \(SI \cap AB = \left\{ P \right\}.\)

Ta có \(I\) là trung điểm của \(CD \Rightarrow OI \bot CD\) (liên hệ giữa đường kính và dây cung)

\( \Rightarrow \angle OIC = \angle OHA\,\,\,\left( { = {{90}^0}} \right) \Rightarrow \angle OIC + \angle OHA\, = {180^0}\)

\( \Rightarrow OHPI\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

Xét \(\Delta SPH\) và \(\Delta SOI\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle S\,\,chung\\\angle SHP = \angle SIO = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta SPH \sim \Delta SOI\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{SP}}{{SO}} = \frac{{SH}}{{SI}} \Leftrightarrow SP.SI = SH.SO = S{A^2} \Rightarrow \frac{{SP}}{{SA}} = \frac{{SA}}{{SO}}\end{array}\)

Xét \(\Delta SAP\) và \(\Delta SIA\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle S\,\,chung\\\frac{{SP}}{{SA}} = \frac{{SA}}{{SO}}\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta SPH \sim \Delta SOI\,\,\left( {c - g - c} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle SAB = \angle AIC = \angle CIB\) (các góc tương ứng).

Ta có:\(\angle CAI = \angle SAI - \angle SAC = \angle SPA - \angle SAC = \frac{1}{2}\,\,cung\,DB = \angle DCB.\)

Xét \(\Delta IAC\) và \(\Delta ICB\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle AIC = \angle CIB\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle ICB = \angle CAI\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta IAC \sim \Delta ICB\,\,\left( {g - g} \right)\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link