1) Đặt: \(N = {a_1} + {a_2} + ... + {a_{2018}},\,\,\,M = a_1^5 + a_2^5 + ... + a_{2018}^5\,\,\,\left(

Câu hỏi số 329988:

Vận dụng

1) Đặt: \(N = {a_1} + {a_2} + ... + {a_{2018}},\,\,\,M = a_1^5 + a_2^5 + ... + a_{2018}^5\,\,\,\left( {{a_1},{a_2},...,{a_{2018}} \in {Z^ + }} \right).\) Chứng minh rằng nếu \(N\) chia hết cho \(30\) thì \(M\) cũng chia hết cho \(30.\)

2) Tìm tất cả số tự nhiên \(n,\,\,k\) để: \({n^8} + {4^{2k + 1}}\) là số nguyên tố.

A. \(2)\,\,n = 1,\,\,k = 0\)

B. \(2)\,\,n = 1,\,\,k = 1\)

C. \(2)\,\,n = 0,\,\,k = 0\)

D. \(2)\,\,n = 0,\,\,k = 1\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:329988

Phương pháp giải

1) Ta xét hiệu M – N, từ đó phân tích từng: \({a^5} - a\) thành nhân tử để chứng minh M – N cũng chia hết cho 30.

2) Ta sẽ phân tích biểu thức đã cho thành nhân tử, sau đó sử dụng giả thiết đây là số nguyên tố để chứng minh có 1 thừa số phải bằng 1.

Giải chi tiết

1) Đặt: \(N = {a_1} + {a_2} + ... + {a_{2018}},M = a_1^5 + a_2^5 + ... + a_{2018}^5({a_1},{a_2},...,{a_{2018}} \in {Z^ + }).\) Chứng minh rằng nếu N chia hết cho 30 thì M cũng chia hết cho 30.

Ta có: \(N = {a_1} + {a_2} + ... + {a_{2018}},\,\,\,M = a_1^5 + a_2^5 + ... + a_{2018}^5\,\,\,\,\,\left( {{a_1},\,\,{a_2},...,{a_{2018}} \in {Z^ + }} \right)\)

Xét hiệu:

\(\begin{array}{l}M - N = a_1^5 + a_2^5 + ..... + a_{2018}^5 - {a_1} - {a_2} - .... - {a_{2018}}\\ = \left( {a_1^5 - {a_1}} \right) + \left( {a_2^5 - {a_2}} \right) + ...... + \left( {a_{2018}^5 - {a_{2018}}} \right)\end{array}\)

Ta có: \({a^5} - a = a\left( {{a^4} - 1} \right) = a\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{a^2} - 1} \right) = a\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right).\)

\(30 = 2.3.5\) với \(2,\,\,3,\,\,5\) đều là các số nguyên tố.

Ta có: \(a({a^2} + 1)(a - 1)(a + 1)\) có tích của 3 số tự nhiên liên tiếp là \(a - 1,\,\,a,\,\,a + 1\,\) nên \(a\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)\) sẽ chia hết cho 2 và 3.

Nếu \(a\) chia cho \(5\) dư \(0,\,\,1\) hoặc \(4\) thì lần lượt \(a,\,\,a - 1,\,\,a + 1\) sẽ chia hết cho \(5.\)

Nếu \(a\) chia \(5\) dư \(2\) hoặc \(3\) thì \(a + 1\) sẽ chia hết cho \(5.\)

Vậy \(a({a^2} + 1)(a - 1)(a + 1)\) sẽ chia hết cho cả \(2,\,3,\,5\) nên sẽ chia hết cho \(30.\)

Do vậy \(M - N\) chia hết cho \(30\) do đó \(M\) cũng chia hết cho \(30.\)

Ta có điều phải chứng minh.

2) Tìm tất cả số tự nhiên n, k để: \({n^8} + {4^{2k + 1}}.\) là số nguyên tố.

Ta có:

\(\begin{array}{l}{n^8} + {4^{2k + 1}} = {n^8} + {\left( {{2^{2k + 1}}} \right)^2} = {\left( {{n^2}} \right)^4} + {2.2^{k + 1}}.{n^2} + {\left( {{2^{2k + 1}}} \right)^2} - {\left( {{2^{k + 1}}.n} \right)^2}\\ = {\left( {{n^2} + {2^{2k + 1}}} \right)^2} - {\left( {{2^{k + 1}}.n} \right)^2}\\ = \left( {{n^2} + {2^{2k + 1}} - {2^{k + 1}}.n} \right)\left( {{n^2} + {2^{2k + 1}} + {2^{k + 1}}.n} \right)\end{array}\)

Do \(n,\,\,k\) là các số tự nhiên và \({n^8} + {4^{2k + 1}}\) là 1 số nguyên tố nên:

\(\begin{array}{l}{n^8} + {4^{2k + 1}} = \left( {{n^2} + {2^{2k + 1}} - {2^{k + 1}}.n} \right)\left( {{n^2} + {2^{2k + 1}} + {2^{k + 1}}.n} \right)\\ \Rightarrow {n^2} + {2^{2k + 1}} - {2^{k + 1}}.n = 1\\ \Leftrightarrow {n^2} - {2.2^k}.n + 2{\left( {{2^k}} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow {\left( {n - {2^k}} \right)^2} + {\left( {{2^k}} \right)^2} = 1\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}n - {2^k} = 0\\{2^k} = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 0\\n = 1\end{array} \right. \Rightarrow {n^8} + {4^{2k + 1}} = 1 + 2 + 2 = 5.\\\left\{ \begin{array}{l}n - {2^k} = 1\\{2^k} = 0\end{array} \right.\,\,\left( {VN} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}n - {2^k} = - 1\\{2^k} = 0\end{array} \right.\,\,\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(n = 1,\,\,k = 0\) là các giá trị cần tìm.

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link