Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
1) Đặt: \(N = {a_1} + {a_2} + ... + {a_{2018}},\,\,\,M = a_1^5 + a_2^5 + ... + a_{2018}^5\,\,\,\left(
1) Đặt: \(N = {a_1} + {a_2} + ... + {a_{2018}},\,\,\,M = a_1^5 + a_2^5 + ... + a_{2018}^5\,\,\,\left( {{a_1},{a_2},...,{a_{2018}} \in {Z^ + }} \right).\) Chứng minh rằng nếu \(N\) chia hết cho \(30\) thì \(M\) cũng chia hết cho \(30.\)
2) Tìm tất cả số tự nhiên \(n,\,\,k\) để: \({n^8} + {4^{2k + 1}}\) là số nguyên tố.
Đáp án đúng là: A
1) Ta xét hiệu M – N, từ đó phân tích từng: \({a^5} - a\) thành nhân tử để chứng minh M – N cũng chia hết cho 30.
2) Ta sẽ phân tích biểu thức đã cho thành nhân tử, sau đó sử dụng giả thiết đây là số nguyên tố để chứng minh có 1 thừa số phải bằng 1.
1) Đặt: \(N = {a_1} + {a_2} + ... + {a_{2018}},M = a_1^5 + a_2^5 + ... + a_{2018}^5({a_1},{a_2},...,{a_{2018}} \in {Z^ + }).\) Chứng minh rằng nếu N chia hết cho 30 thì M cũng chia hết cho 30.
Ta có: \(N = {a_1} + {a_2} + ... + {a_{2018}},\,\,\,M = a_1^5 + a_2^5 + ... + a_{2018}^5\,\,\,\,\,\left( {{a_1},\,\,{a_2},...,{a_{2018}} \in {Z^ + }} \right)\)
Xét hiệu:
\(\begin{array}{l}M - N = a_1^5 + a_2^5 + ..... + a_{2018}^5 - {a_1} - {a_2} - .... - {a_{2018}}\\ = \left( {a_1^5 - {a_1}} \right) + \left( {a_2^5 - {a_2}} \right) + ...... + \left( {a_{2018}^5 - {a_{2018}}} \right)\end{array}\)
Ta có: \({a^5} - a = a\left( {{a^4} - 1} \right) = a\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{a^2} - 1} \right) = a\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right).\)
\(30 = 2.3.5\) với \(2,\,\,3,\,\,5\) đều là các số nguyên tố.
Ta có: \(a({a^2} + 1)(a - 1)(a + 1)\) có tích của 3 số tự nhiên liên tiếp là \(a - 1,\,\,a,\,\,a + 1\,\) nên \(a\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)\) sẽ chia hết cho 2 và 3.
Nếu \(a\) chia cho \(5\) dư \(0,\,\,1\) hoặc \(4\) thì lần lượt \(a,\,\,a - 1,\,\,a + 1\) sẽ chia hết cho \(5.\)
Nếu \(a\) chia \(5\) dư \(2\) hoặc \(3\) thì \(a + 1\) sẽ chia hết cho \(5.\)
Vậy \(a({a^2} + 1)(a - 1)(a + 1)\) sẽ chia hết cho cả \(2,\,3,\,5\) nên sẽ chia hết cho \(30.\)
Do vậy \(M - N\) chia hết cho \(30\) do đó \(M\) cũng chia hết cho \(30.\)
Ta có điều phải chứng minh.
2) Tìm tất cả số tự nhiên n, k để: \({n^8} + {4^{2k + 1}}.\) là số nguyên tố.
Ta có:
\(\begin{array}{l}{n^8} + {4^{2k + 1}} = {n^8} + {\left( {{2^{2k + 1}}} \right)^2} = {\left( {{n^2}} \right)^4} + {2.2^{k + 1}}.{n^2} + {\left( {{2^{2k + 1}}} \right)^2} - {\left( {{2^{k + 1}}.n} \right)^2}\\ = {\left( {{n^2} + {2^{2k + 1}}} \right)^2} - {\left( {{2^{k + 1}}.n} \right)^2}\\ = \left( {{n^2} + {2^{2k + 1}} - {2^{k + 1}}.n} \right)\left( {{n^2} + {2^{2k + 1}} + {2^{k + 1}}.n} \right)\end{array}\)
Do \(n,\,\,k\) là các số tự nhiên và \({n^8} + {4^{2k + 1}}\) là 1 số nguyên tố nên:
\(\begin{array}{l}{n^8} + {4^{2k + 1}} = \left( {{n^2} + {2^{2k + 1}} - {2^{k + 1}}.n} \right)\left( {{n^2} + {2^{2k + 1}} + {2^{k + 1}}.n} \right)\\ \Rightarrow {n^2} + {2^{2k + 1}} - {2^{k + 1}}.n = 1\\ \Leftrightarrow {n^2} - {2.2^k}.n + 2{\left( {{2^k}} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow {\left( {n - {2^k}} \right)^2} + {\left( {{2^k}} \right)^2} = 1\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}n - {2^k} = 0\\{2^k} = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 0\\n = 1\end{array} \right. \Rightarrow {n^8} + {4^{2k + 1}} = 1 + 2 + 2 = 5.\\\left\{ \begin{array}{l}n - {2^k} = 1\\{2^k} = 0\end{array} \right.\,\,\left( {VN} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}n - {2^k} = - 1\\{2^k} = 0\end{array} \right.\,\,\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(n = 1,\,\,k = 0\) là các giá trị cần tìm.
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
