Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\dfrac{x}{{ - 1}} = \dfrac{{y + 1}}{2} =
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\dfrac{x}{{ - 1}} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y - 2z - 2 = 0\). \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa \(d\) và tạo với mặt phẳng \(\left( P \right)\) một góc nhỏ nhất. Gọi \(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} \left( {a;b;1} \right)\) là một vecto pháp tuyến của \(\left( Q \right).\) Đẳng thức nào đúng?
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right);\left( Q \right)\) là \(\alpha \) thì \(\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ;\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} .\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right|}}\)
Để \(\alpha \) nhỏ nhất thì \(\cos \alpha \) lớn nhất từ đó ta dùng hàm số để tìm GTLN.
Đường thẳng \(d:\dfrac{x}{{ - 1}} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}\) có 1 VTCP \(\overrightarrow u = \left( { - 1;2;1} \right)\)
Mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y - 2z - 2 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1; - 2} \right)\)
Vì \(\left( Q \right)\) chứa đường thẳng \(d\) nên \(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} \bot \overrightarrow u \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow a.\left( { - 1} \right) + b.2 + 1 = 0 \Leftrightarrow a = 2b + 1\)
Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\), ta có
\(\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ;\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} .\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {2a - b - 2} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + 1} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}\)
Thay \(a = 2b + 1\) ta được
\(\cos \alpha = \dfrac{{\left| {2\left( {2b + 1} \right) - b - 2} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {2b + 1} \right)}^2} + {b^2} + 1} .3}} = \dfrac{{3\left| b \right|}}{{3.\sqrt {5{b^2} + 4b + 2} }} = \dfrac{{\left| b \right|}}{{\sqrt {5{b^2} + 4b + 2} }}\) \( = \sqrt {\dfrac{{{b^2}}}{{5{b^2} + 4b + 2}}} \)
Để \(\alpha \) nhỏ nhất thì \(\cos \alpha \) lớn nhất, suy ra \(\sqrt {\dfrac{{{b^2}}}{{5{b^2} + 4b + 2}}} \) lớn nhất hay \(\dfrac{{{b^2}}}{{5{b^2} + 4b + 2}}\) lớn nhất
Ta tìm \(b\) để hàm số \(f\left( b \right) = \dfrac{{{b^2}}}{{5{b^2} + 4b + 2}}\) lớn nhất.
Ta có \(f'\left( b \right) = \dfrac{{2b\left( {5{b^2} + 4b + 2} \right) - \left( {10b + 4} \right).{b^2}}}{{{{\left( {5{b^2} + 4b + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{4{b^2} + 4b}}{{{{\left( {5{b^2} + 4b + 2} \right)}^2}}} \Rightarrow f'\left( b \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = - 1\\b = 0\end{array} \right.\)
BBT của hàm số \(f\left( b \right).\)
Từ BBT ta thấy \(f\left( b \right)\) lớn nhất bằng \(\dfrac{1}{3}\) khi \(b = - 1 \Rightarrow a = - 1 \Rightarrow a + b = - 2.\)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
