Tìm tất cả các giá trị của tham số thực \(a\) để dãy số \({u_n}\) với \({u_n} = \sqrt {2{n^2}

Câu hỏi số 331847:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị của tham số thực \(a\) để dãy số \({u_n}\) với \({u_n} = \sqrt {2{n^2} + n} - a\sqrt {2{n^2} - n} \) có giới hạn hữu hạn.

A. \(a \in \mathbb{R}\)

B. \(a \in \left( {1; + \infty } \right)\)

C. \(a \in \left( { - \infty ;1} \right)\)

D. \(a = 1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:331847

Phương pháp giải

Dùng nhân liên hợp để tính giới hạn dãy số.

Giải chi tiết

Xét \(a \le 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{} {u_n} \ge \lim \sqrt {2{n^2} + n} = + \infty \), dãy số không có giới hạn hữu hạn.

Xét \(a > 0\) , ta có:

\(\begin{array}{l}{u_n} = \sqrt {2{n^2} + n} - a\sqrt {2{n^2} - n} = \frac{{\left( {\sqrt {2{n^2} + n} - a\sqrt {2{n^2} - n} } \right)\left( {\sqrt {2{n^2} + n} + a\sqrt {2{n^2} - n} } \right)}}{{\sqrt {2{n^2} + n} + a\sqrt {2{n^2} - n} }}\\ = \frac{{2{n^2} + n - {a^2}\left( {2{n^2} - n} \right)}}{{\sqrt {2{n^2} + n} + a\sqrt {2{n^2} - n} }} = \frac{{2\left( {1 - {a^2}} \right){n^2} + n\left( {1 + {a^2}} \right)}}{{\sqrt {2{n^2} + n} + a\sqrt {2{n^2} - n} }}\\ \Rightarrow \lim {u_n} = \lim \frac{{2\left( {1 - {a^2}} \right){n^2} + n\left( {1 + {a^2}} \right)}}{{\sqrt {2{n^2} + n} + a\sqrt {2{n^2} - n} }} = \lim \frac{{2\left( {1 - {a^2}} \right)n + \left( {1 + {a^2}} \right)}}{{\sqrt {2 + \frac{1}{n}} + a\sqrt {2 - \frac{1}{n}} }}\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Hàm giới hạn đã cho là giới hạn hữu hạn thì \(1 - {a^2} = 0 \Leftrightarrow a = 1\,\,\,\,\,\left( {a > 0} \right).\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.