Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC = AB = AC = a\) và \(BC = a\sqrt 2 \). Góc giữa hai đường thẳng
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC = AB = AC = a\) và \(BC = a\sqrt 2 \). Góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SC\) bằng:
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
+) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), chứng minh \(SM \bot \left( {ABC} \right)\).
+) Trong \(\left( {ABC} \right)\) dựng hình bình hành \(ABCD.\) Chứng minh \(\angle \left( {SC;AB} \right) = \angle \left( {SC;CD} \right)\).
+) Áp dụng định lí Cosin trong tam giác tính góc.
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), dễ thấy \(\Delta ABC\) vuông tại \(A \Rightarrow M\) là tâm đường tròn ngoạit tiếp \(\Delta ABC\).
Mà \(SA = SB = SC \Rightarrow SM \bot \left( {ABC} \right)\).
Trong \(\left( {ABC} \right)\) dựng hình bình hành \(ABCD \Rightarrow AB//CD\)\( \Leftrightarrow \angle \left( {SC;AB} \right) = \angle \left( {SC;CD} \right)\).
Ta có \(CD = AB = a\).
\(SM = \sqrt {S{A^2} - A{M^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
\( \Rightarrow SC = \sqrt {S{M^2} + M{C^2}} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{{a^2}}}{2}} = a\).
Ta có \(\Delta ACD\) vuông cân tại \(C\)
\( \Rightarrow \angle CAD = {45^0} \Rightarrow \angle MAD = \angle MAC + \angle CAD = {45^0} + {45^0} = {90^0}\).
\( \Rightarrow \Delta AMD\) vuông tại A.
\( \Rightarrow MD = \sqrt {A{M^2} + A{D^2}} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{2} + 2{a^2}} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{2}\).
\( \Rightarrow SD = \sqrt {S{M^2} + M{D^2}} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{5{a^2}}}{2}} = a\sqrt 3 \).
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(SCD\) ta có:
\(\cos \angle SCD = \dfrac{{S{C^2} + C{D^2} - S{D^2}}}{{2.SC.CD}} = \dfrac{{{a^2} + {a^2} - 3{a^2}}}{{2.a.a}} = - \dfrac{1}{2} \Rightarrow \angle SCD = {120^0}\).
Vậy \(\angle \left( {AB;SC} \right) = {60^0}\).
Chọn B.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
