Trong các khối chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) mà khoảng cách từ A đến \(\left( {SBC} \right)\) bằng
Trong các khối chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) mà khoảng cách từ A đến \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(2a\), khối chóp có thể tích nhỏ nhất bằng
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Sử dụng tính chất của tứ diện vuông.
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, I là trung điểm của BC. Dựng \(OH \bot SI,\,\left( {H \in SI} \right)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SO\\BC \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SOI} \right) \Rightarrow BC \bot OH\)
Mà \(SI \bot OH \Rightarrow OH \bot \left( {SBC} \right)\)
Do \(\left\{ \begin{array}{l}AC \cap \left( {SBC} \right) = \left\{ C \right\}\\AC = 2.OC\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 2.d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = 2.OH = 2a \Rightarrow OH = a\)
Ta có: \({V_{S.ABCD}} = 4.{V_{O.SBC}}\)
Giả sử tứ diện vuông S.OBC có: \(OB = OC = x,\,\,SO = y\,\,\left( {x,y > 0} \right)\).
Khi đó: \({V_{O.SBC}} = \dfrac{{SO.OB.OC}}{6} = \dfrac{{{x^2}y}}{6}\) và
\(\dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}} + \dfrac{1}{{S{O^2}}} = \dfrac{1}{{O{H^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}}\)
Áp dụng BĐT Cô si:
\(\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} \ge \dfrac{3}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2}y} \right)}^2}}}}} \Rightarrow \dfrac{1}{{{a^2}}} \ge \dfrac{3}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2}y} \right)}^2}}}}} \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2}y} \right)}^2}}}}}{3} \ge {a^2} \Leftrightarrow {x^2}y \ge 3\sqrt 3 {a^3}\)
\( \Rightarrow {V_{O.SBC}} = \dfrac{{{x^2}y}}{6} \ge \dfrac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{6} = \dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{2}\)\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} \ge 2\sqrt 3 {a^3}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = y\\\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}\)
Khối chóp \(S.ABCD\) có thể tích nhỏ nhất bằng \(2\sqrt 3 {a^3}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
