Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({3^{{x^2} + 2x + 1 - 2\left| {x - m}

Câu hỏi số 332281:

Vận dụng cao

Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({3^{{x^2} + 2x + 1 - 2\left| {x - m} \right|}} = {\log _{{x^2} + 2x + 3}}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)\) có đúng ba nghiệm phân biệt là:

A. 3.

B. -2

C. -3.

D. 2.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:332281

Phương pháp giải

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để đánh giá nghiệm của phương trình.

Giải chi tiết

\({3^{{x^2} + 2x + 1 - 2\left| {x - m} \right|}} = {\log _{{x^2} + 2x + 3}}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right) \Leftrightarrow {3^{{x^2} + 2x + 3 - \left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)}} = \dfrac{{\ln \left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)}}{{\ln \left( {{x^2} + 2x + 3} \right)}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{{3^{{x^2} + 2x + 3}}}}{{{3^{2\left| {x - m} \right| + 2}}}} = \dfrac{{\ln \left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)}}{{\ln \left( {{x^2} + 2x + 3} \right)}} \Leftrightarrow {3^{{x^2} + 2x + 3}}\ln \left( {{x^2} + 2x + 3} \right) = {3^{2\left| {x - m} \right| + 2}}\ln \left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)\) (*)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {3^t}.\ln t,\,\,\left( {t > 0} \right)\), ta có:

\(f'\left( t \right) = {3^t}.\ln 3.\ln t + {3^t}.\dfrac{1}{t} > 0,\,\,\forall t > 0 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Khi đó, phương trình (*)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 3 = 2\left| {x - m} \right| + 2 \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 = 2\left| {x - m} \right|\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2x + 1 = 2x - 2m\\{x^2} + 2x + 1 = - 2x + 2m\end{array} \right.\) (do \({x^2} + 2x + 1 \ge 0,\,\,\forall x\))

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = - 1 - 2m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\,\\{x^2} + 4x + 1 - 2m = 0,\,\,\left( {\Delta ' = 4 - \left( {1 - 2m} \right) = 3 + 2m} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Bảng xét dấu:

+) Nếu \(m > - \dfrac{1}{2}\) thì \( - 2m - 1 < 0\), phương trình (1) vô nghiệm

\( \Rightarrow \) Phương trình đã cho không thể có ba nghiệm \( \Rightarrow \) Loại

+) Nếu \(m = - \dfrac{1}{2}\) thì \((1) \Leftrightarrow x = 0\) và \((2) \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2 + \sqrt 2 \,\,(TM)\\x = - 2 - \sqrt 2 \,\,(TM)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đã cho có ba nghiệm \( \Rightarrow m = - \dfrac{1}{2}\) thỏa mãn.

+) Nếu \( - \dfrac{3}{2} < m < - \dfrac{1}{2}\) thì (1) và (2) đều có hai nghiệm phân biệt

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = \pm \sqrt { - 1 - 2m} \)

Mà \({\left( {\sqrt { - 1 - 2m} } \right)^2} + 4\sqrt { - 1 - 2m} + 1 - 2m = 0 \Leftrightarrow \sqrt { - 1 - 2m} = m:\) vô lý , do \( - \dfrac{3}{2} < m < - \dfrac{1}{2}\)

\({\left( { - \sqrt { - 1 - 2m} } \right)^2} - 4\sqrt { - 1 - 2m} + 1 - 2m = 0 \Leftrightarrow \sqrt { - 1 - 2m} = - m \Leftrightarrow - 1 - 2m = {m^2} \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1\)

Vậy, với \(m = - 1\) thì phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm phân biệt \( \Rightarrow m = - 1\) thỏa mãn.

với \(m = \left( { - \dfrac{3}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right){\rm{\backslash }}\left\{ { - 1} \right\}\) phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt \( \Rightarrow \) Loại

+) Nếu \(m = - \dfrac{3}{2}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} = 2 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 \\\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = - 2\end{array} \right.\). Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt

\( \Rightarrow m = - \dfrac{3}{2}\) thỏa mãn.

+) Nếu \(m < - \dfrac{3}{2}\) thì \(\Delta ' < 0\), phương trình (2) vô nghiệm \( \Rightarrow \) Phương trình đã cho không thể có ba nghiệm

\( \Rightarrow \) Loại

Kết luận: Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(m \in \left\{ { - \dfrac{3}{2}; - 1; - \dfrac{1}{2}} \right\}\)

Tổng tất cả các giá trị của m là: \( - \dfrac{3}{2} - 1 - \dfrac{1}{2} = - 3\).

Chọn: C

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.