Cho cấp số cộng \(\left( {{a_n}} \right)\), cấp số nhân \(\left( {{b_n}} \right)\) thỏa mãn \({a_2} >
Cho cấp số cộng \(\left( {{a_n}} \right)\), cấp số nhân \(\left( {{b_n}} \right)\) thỏa mãn \({a_2} > {a_1} \ge 0,\,\,{b_2} > {b_1} \ge 1\) và hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x\) sao cho \(f\left( {{a_2}} \right) + 2 = f\left( {{a_1}} \right)\) và \(f\left( {{{\log }_2}{b_2}} \right) + 2 = f\left( {{{\log }_2}{b_1}} \right)\). Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho \({b_n} > 2019{a_n}\).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x\), có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3,\,\,\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\)
Ta có: \({a_2} > {a_1} \ge 0\).
\(f\left( {{a_2}} \right) + 2 = f\left( {{a_1}} \right) \Leftrightarrow a_2^3 - 3{a_2} + 2 = a_1^3 - 3{a_1}\) (1)
Nếu \({a_1} > 1 \Rightarrow a_2^3 - 3{a_2} > a_1^3 - 3{a_1} \Rightarrow \) (1) vô nghiệm
Nếu \(0 \le {a_1} \le 1 \Rightarrow - 2 < a_1^3 - 3{a_1} \le 0 \Rightarrow a_2^3 - 3{a_2} + 2 \le 0 \Leftrightarrow {\left( {{a_2} - 1} \right)^2}\left( {{a_2} + 2} \right) \le 0\)\( \Rightarrow {a_2} = 1 \Rightarrow {a_1} = 0 \Rightarrow {a_n} = n - 1,\,\,\forall \,n \in {\mathbb{N}^*}\).
Ta có: \({b_2} > {b_1} \ge 1\), suy ra \({\log _2}{b_2} > {\log _2}{b_1} \ge 0\). Chứng minh tương tự ta có:
\( \Rightarrow {\log _2}{b_2} = 1 \Rightarrow {\log _2}{b_1} = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b_1} = {2^0} = 1\\{b_2} = {2^1} = 2\end{array} \right. \Rightarrow {b_n} = {2^{n - 1}},\,\,n \in {\mathbb{N}^*}\)
Khi đó, \({b_n} > 2019{a_n} \Leftrightarrow {2^{n - 1}} > 2019\left( {n - 1} \right),n \in {\mathbb{N}^*}\)
Kiểm tra các đáp án, ta thấy: số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn là: \(n = 16\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
