Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt

Câu hỏi số 332530:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a\).

1. Chứng minh \(\left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).

2. Tính góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

3. Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên cạnh \(SB\). Chứng minh \(AH \bot \left( {SBC} \right)\). Tính \(AH\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:332530

Phương pháp giải

1) \(\left\{ \begin{array}{l}d \bot \left( P \right)\\d \subset \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right) \bot \left( Q \right)\).

2) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.

3) Chứng minh \(AH\) vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau trong \(\left( {SBC} \right)\). Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \(AH\).

Giải chi tiết

1) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\,\,\left( {gt} \right)\\BD \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\).

Mà \(BD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\).

2) Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;AC} \right) = \angle SCA\).

\(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \).

Trong tam giác vuông \(SAC\) ta có:

\(\tan \angle SCA = \dfrac{{SA}}{{AC}} = \dfrac{a}{{a\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \angle SCA \simeq {35^0}16'\).

3) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\)

\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\,\,\left( {gt} \right)\\AH \bot BC\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAB\) ta có:

\(AH = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{a.a}}{{\sqrt {{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.