Cho hàm số \(y = f(x) = \ln \left( {\sqrt {1 + {x^2}} + x} \right).\) Tập nghiệm của bất phương trình

Câu hỏi số 332877:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f(x) = \ln \left( {\sqrt {1 + {x^2}} + x} \right).\) Tập nghiệm của bất phương trình \(f\left( {a - 1} \right) + f\left( {\ln a} \right) \le 0\) là

A. \(\left[ {1; + \infty } \right)\)

B. \(\left[ {0;1} \right]\)

C. \(\left( {0;1} \right]\)

D. \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:332877

Phương pháp giải

+) Giải bất phương trình bằng phương pháp xét hàm sự đơn điệu của hàm số \(y = f\left( x \right).\)

Giải chi tiết

Điều kiện: \(\sqrt {1 + {x^2}} + x > 0\)

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \ln \left( {\sqrt {1 + {x^2}} + x} \right)\) ta có:

\(y' = \dfrac{{\dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} + x}} = \dfrac{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} \left( {\sqrt {1 + {x^2}} + x} \right)}} = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên TXĐ.

Xét: \(f\left( { - x} \right) = \ln \left( {\sqrt {1 + {x^2}} - x} \right) = \ln \dfrac{{1 + {x^2} - {x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} + x}} = \ln \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} + x}} = - \ln \left( {\sqrt {1 + {x^2}} + x} \right) = - f\left( x \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\)

Khi đó ta có bất phương trình: \(f\left( {a - 1} \right) + f\left( {\ln a} \right) \le 0\,\,\,\,\,\left( {a > 0} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow f\left( {\ln a} \right) \le - f\left( {a - 1} \right)\\ \Leftrightarrow f\left( {\ln a} \right) \le f\left( {1 - a} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( {do\,\,\,f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)} \right)\\ \Leftrightarrow \ln a \le 1 - a\,\,\,\left( {do\,\,\,f'\left( x \right) > 0} \right) \Leftrightarrow \ln a + a \le 1\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(g\left( a \right) = \ln a + a\,\,\left( {a > 0} \right)\) ta có: \(g'\left( a \right) = \dfrac{1}{a} + 1 > 0\,\,\forall a > 0 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Theo (*) ta có \(g\left( a \right) \le g\left( 1 \right) = \ln 1 + 1 \Leftrightarrow a \le 1\).

Vậy \(0 < a \le 1\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.