Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N lần lượt thuộc các cạnh bên AA’, CC’ sao
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N lần lượt thuộc các cạnh bên AA’, CC’ sao cho \(MA = MA'\) và \(NC = 4NC'\). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Trong bốn khối tứ diện GA’B’C’, BB’MN, ABB’C’ và A’BCN, khối tứ diện nào có thể tích nhỏ nhất?
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Phân chia khối đa diện và sử dụng các công thức tính thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}h.S\) và thể tích lăng trụ \(V = h.S\) với \(h\) là chiều cao của khối đa diện và \(S\) là diện tích đáy. Từ đó tính thể tích các khối chóp theo thể tích lăng trụ rồi so sánh.
Sử dụng nếu \(a//\left( P \right)\) thì \(d\left( {A;\left( P \right)} \right) = d\left( {B;\left( P \right)} \right)\) với \(A,B \in a\).
+ Gọi chiều cao lăng trụ là \(h\) và diện tích đáy là \(S = {S_{ABC}} = {S_{A'B'C'}}\) thì thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là \(V = h.S\)
+ Xét khối chóp \(G.A'B'C'\) có \({V_{G.A'B'C'}} = \dfrac{1}{3}d\left( {G;\left( {A'B'C'} \right)} \right).{S_{A'B'C'}} = \dfrac{1}{3}h.S = \dfrac{V}{3}\) (1)
+ Xét khối chóp \(C'.ABC\) có \({V_{C'ABC}} = \dfrac{1}{3}h\left( {C';\left( {ABC} \right)} \right).{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}h.S = \dfrac{V}{3}\) nên
\({V_{C'.ABB'A'}} = \dfrac{2}{3}V\left( { = \dfrac{1}{3}d\left( {C';\left( {ABB'A'} \right)} \right).{S_{ABB'A'}}} \right)\)
Lại có
\(\begin{array}{l}{V_{ABB'C'}} = \dfrac{1}{3}d\left( {C';\left( {ABB'A'} \right)} \right).{S_{ABB'}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}d\left( {C';\left( {ABB'A'} \right)} \right).{S_{ABB'A'}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}{V_{C'.ABB'A'}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{2V}}{3} = \dfrac{V}{3}\,\,\left( 2 \right)\end{array}\).
+) Xét khối chóp \(BB'MN\) có \({S_{MBB'}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABB'A'}}\) (có cùng cạnh đáy \(BB'\) và chiều cao bằng nhau)
\(\begin{array}{l}{V_{N.BB'M}} = \dfrac{1}{3}d\left( {N;\left( {BB'A'A} \right)} \right).{S_{MBB'}} = \dfrac{1}{3}d\left( {C';\left( {BB'A'A} \right)} \right).\dfrac{1}{2}{S_{ABB'A'}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}{V_{C'.ABB'A'}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{2V}}{3} = \dfrac{V}{3}\end{array}\) (3)
+) Xét khối chóp \(A'BCN\) có \({S_{BCN}} = \dfrac{1}{2}d\left( {B;CC'} \right).CN = \dfrac{1}{2}d\left( {B;CC'} \right).\dfrac{4}{5}CC' = \dfrac{4}{5}.{S_{BCC'}}\)
Khi đó
\(\begin{array}{l}{V_{A'.BCN}} = \dfrac{1}{3}d\left( {A';\left( {BCC'B'} \right)} \right).{S_{BCN}} = \dfrac{1}{3}d\left( {A';\left( {BCC'B'} \right)} \right).\dfrac{4}{5}{S_{BCC'}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{4}{5}\left( {\dfrac{1}{3}d\left( {A';\left( {BCC'B'} \right)} \right).{S_{BCC'}}} \right) = \dfrac{4}{5}{V_{A'.BCC'}} = \dfrac{4}{5}.\dfrac{1}{2}{V_{A'.BCC'B'}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{2}{5}.\left( {V - {V_{A'.ABC}}} \right) = \dfrac{2}{5}\left( {V - \dfrac{V}{3}} \right) = \dfrac{V}{5}\,\,\left( 4 \right)\end{array}\)
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra khối tứ diện có thể tích nhỏ nhất là \(A'BCN\).
Chọn B
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
