Cho \(f(x) + 4xf({x^2}) = 3x.\) Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f(x){\rm{d}}x} .\)

Câu hỏi số 333348:

Thông hiểu

A. \(I = - 2.\)

B. \(I = - \dfrac{1}{2}.\) C. \(I = 2.\)

C. \(I = 2.\)

D. \(I = \dfrac{1}{2}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:333348

Phương pháp giải

Lấy tích phân hai vế, cận từ \(0\) đến \(1\) và đổi biến \(t = 2x\) đối với tích phân \(\int\limits_0^1 {4xf\left( {{x^2}} \right)dx} \).

Giải chi tiết

Tích phân hai vế ta được :

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) + 4xf\left( {{x^2}} \right)} \right]dx} = \int\limits_0^1 {3xdx} \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + 2\int\limits_0^1 {2xf\left( {{x^2}} \right)dx} = 3.\left. {\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^1\\ \Rightarrow I + 2\int\limits_0^1 {2xf\left( {{x^2}} \right)dx} = \dfrac{3}{2}\end{array}\)

Đặt \(t = {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx\). Khi đó \(\int\limits_0^1 {2xf\left( {{x^2}} \right)dx} = \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = I\).

\( \Rightarrow I + 2I = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow I = \dfrac{1}{2}\).

Vậy \(I = \dfrac{1}{2}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.