Cho hình chóp \(S.ABCD\), có \(ABCD\) là hình vuông tâm O có cạnh \(a\), \(SA = a\sqrt 5 \) và \(SA \bot

Câu hỏi số 333631:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\), có \(ABCD\) là hình vuông tâm O có cạnh \(a\), \(SA = a\sqrt 5 \) và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\).

a) Chứng minh rằng: \(CD \bot \left( {SAD} \right)\).

b) Chứng minh rằng: \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\).

c) Tính khoảng cách giữa \(AB\) và \(\left( {SCD} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:333631

Phương pháp giải

a) \(\left\{ \begin{array}{l}d \bot a\\d \bot b\\a \cap b \cap \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( P \right)\).

b) \(\left\{ \begin{array}{l}d \bot \left( P \right)\\d \subset \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right) \bot \left( Q \right)\).

c) Chứng minh \(d\left( {AB;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)\).

Giải chi tiết

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\,\,\left( {gt} \right)\\CD \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)\).

b) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\,\,\left( {gt} \right)\\BD \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\).

Mà \(AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\).

c) Ta có \(AB//CD \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {AB;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {SAD} \right)\) kẻ \(AH \bot SD\) ta có:

\(CD \bot \left( {SAD} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow CD \bot AH\). Lại có \(AH \bot SD \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = AH\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAD\) ta có: \(AH = \frac{{SA.AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{a\sqrt 5 .a}}{{\sqrt {5{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{a\sqrt {30} }}{6}\).

Vậy \(d\left( {AB;\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {30} }}{6}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.