Gọi \(d\) là đường thẳng tùy ý đi qua điểm \(M\left( {1;1} \right)\) và có hệ số góc âm. Giả
Gọi \(d\) là đường thẳng tùy ý đi qua điểm \(M\left( {1;1} \right)\) và có hệ số góc âm. Giả sử \(d\) cắt các trục \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(A,B.\) Quay tam giác \(OAB\) quanh trục \(Oy\) thu được một khối tròn xoay có thể tích là \(V.\) Giá trị nhỏ nhất của \(V\) bằng
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
+ Sử dụng phương trình đường thẳng theo đoạn chắn: Đường thẳng \(d\) cắt trục \(Ox;Oy\) lần lượt tại \(A\left( {a;0} \right);B\left( {0;b} \right)\,\,\left( {a;b \ne 0} \right)\) thì có phương trình \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)
+ Sử dụng công thức thể tích khối nón có chiều cao \(h\) và bán kính đáy \(r\) là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\)
+ Đưa về bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
Giả sử \(d\) cắt các trục \(Ox;Oy\) lần lượt tại \(A\left( {a;0} \right),B\left( {0;b} \right)\,\,\,\left( {a;b \ne 0} \right)\) thì phương trình đường thẳng \(d\) là \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \Leftrightarrow bx + ay = ab \Leftrightarrow y = - \frac{b}{a}x + b\).
Suy ra \(d\) có hệ số góc \(k = - \frac{b}{a}\) mà theo đề bài thì \(k < 0 \Rightarrow - \frac{b}{a} < 0 \Leftrightarrow ab > 0\) (1)
Lại có \(M\left( {1;1} \right) \in d \Rightarrow 1 = - \frac{b}{a} + b \Rightarrow a + b = ab\) (2)
Từ (1): Nếu \(a < 0;b < 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}ab > 0\\a + b < 0\end{array} \right. \Rightarrow a + b < ab\) (mâu thuẫn với (2))
Suy ra \(a > 0;b > 0\). Ta có \(a + b = ab \Leftrightarrow b\left( {a - 1} \right) = a \Rightarrow b = \frac{a}{{a - 1}} > 0 \Rightarrow a > 1\)
Khi quay tam giác \(OAB\) quanh trục \(Oy\) ta được hình nón có chiều cao \(h = OB = b = \frac{a}{{a - 1}}\) và bán kính đá \(r = OA = a\) nên thể tích khối nón là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi .{a^2}.\frac{a}{{a - 1}} = \frac{\pi }{3}\frac{{{a^3}}}{{a - 1}}\)
Suy ra ta tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( a \right) = \frac{\pi }{3}\frac{{{a^3}}}{{a - 1}}\) trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)
Ta có \(f'\left( a \right) = \frac{\pi }{3}\frac{{3{a^2}\left( {a - 1} \right) - {a^3}}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}} = \frac{\pi }{3}.\frac{{2{a^3} - 3{a^2}}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0 \notin \left( {1; + \infty } \right)\\a = \frac{3}{2} \in \left( {1; + \infty } \right)\end{array} \right.\)
BBT của \(f\left( a \right)\) trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)
Từ BBT ta có giá trị nhỏ nhất của \(V\) là \(\frac{{9\pi }}{4} \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
