Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm thuộc mặt phẳng

Câu hỏi số 335339:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + z - 7 = 0\) và đi qua hai điểm \(A\left( {1;2;1} \right),B\left( {2;5;3} \right)\). Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu \(\left( S \right)\) bằng:

A. \(\frac{{\sqrt {470} }}{3}\).

B. \(\frac{{\sqrt {546} }}{3}\).

C. \(\frac{{\sqrt {763} }}{3}\).

D. \(\frac{{\sqrt {345} }}{3}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:335339

Giải chi tiết

Lấy \(J\left( {\frac{3}{2};\frac{7}{2};2} \right)\) là trung điểm của AB, \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;3;2} \right)\)

Phươn trình mặt phẳng trung trực của AB là: \(1\left( {x - \frac{3}{2}} \right) + 3\left( {y - \frac{7}{2}} \right) + 2\left( {z - 2} \right) = 0 \) \( \Leftrightarrow x + 3y + 2z - 16 = 0\,\,\left( Q \right)\)

Gọi I là tâm mặt cầu (S).

Do \(I \in \left( P \right)\,\,\& \,\,IA = IB\) nên I thuộc giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) : \(\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x + 2y + z - 7 = 0\\x + 3y + 2z - 16 = 0\,\,\end{array} \right.\)

\(\left( d \right)\) có 1 VTCP \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {1; - 1;1} \right)\), với \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1;2;1} \right);\,\,\overrightarrow {{n_2}} \left( {1;3;2} \right)\)

Cho \(x = 0 \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}y = - 2\\z = 11\,\,\end{array} \right. \Rightarrow \) \(\left( d \right)\) đi qua \(M\left( {0; - 2;11} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 2 - t\\z = 11 + t\end{array} \right..\)

Giả sử \(I\left( {t; - 2 - t;11 + t} \right)\)

\( \Rightarrow IA = \sqrt {{{\left( {t - 1} \right)}^2} + {{\left( {t + 4} \right)}^2} + {{\left( {t + 10} \right)}^2}} \)

\( = \sqrt {3{t^2} + 26t + 117} \)

\(= \sqrt {3{{\left( {t + \dfrac{{13}}{3}} \right)}^2} + \dfrac{{182}}{3}} \ge \dfrac{{\sqrt {546} }}{3}\)

Vậy, bán kính nhỏ nhất của mặt cầu \(\left( S \right)\) bằng: \(\dfrac{{\sqrt {546} }}{3}\).

Chọn: B

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.