Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1; - 3;0} \right),\,\,B\left( {5; - 1; - 2} \right)\) và mặt

Câu hỏi số 336298:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1; - 3;0} \right),\,\,B\left( {5; - 1; - 2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y + z - 1 = 0\). Xét các điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\), giá trị lớn nhất của \(\left| {MA - MB} \right|\) bằng:

A. \(3\)

B. \(2\)

C. \(2\sqrt 5 \)

D. \(2\sqrt 6 \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:336298

Phương pháp giải

+) NX: \(A,B\) khác phía đối với \(\left( P \right)\).

+) Gọi \(A'\) là điểm đối xứng \(A\) qua \(\left( P \right)\) ta có \(\left| {MA - MB} \right| = \left| {MA' - MB} \right| \le A'B \Rightarrow {\left| {MA - MB} \right|_{\max }} = A'B\).

+) Xác định tọa độ điểm \(A'\) và tính \(A'B\).

Giải chi tiết

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{T_A} = 1 - 3 + 0 - 1 = - 3 < 0\\{T_B} = 5 - 1 - 2 - 1 = 1 > 0\end{array} \right. \Rightarrow A,B\) khác phía đối với \(\left( P \right)\).

Gọi \(A'\) là điểm đối xứng \(A\) qua \(\left( P \right)\) ta có \(MA = MA'\) (tính chất đối xứng)

\( \Rightarrow \left| {MA - MB} \right| = \left| {MA' - MB} \right| \le A'B \Rightarrow {\left| {MA - MB} \right|_{\max }} = A'B\) (Bất đẳng thức tam giác)

Dấu \('' = ''\) xảy ra \( \Leftrightarrow M = A'B \cap \left( P \right)\).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right) \Rightarrow \Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 3 + t\\z = t\end{array} \right.\).

Gọi \(H = \Delta \cap \left( P \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}H \in \Delta \Rightarrow H\left( {1 + t; - 3 + t;t} \right)\\H \in \left( P \right) \Rightarrow 1 + t - 3 + t + t - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow H\left( {2; - 2;1} \right)\).

Khi đó \(H\) là trung điểm của \(AA' \Rightarrow A'\left( {3; - 1;2} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {A'B} = \left( {2;0; - 4} \right) \Rightarrow A'B = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 2\sqrt 5 \).

Vậy giá trị lớn nhất của \(\left| {MA - MB} \right|\) bằng: \(2\sqrt 5 \).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.