Xét các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 1\), giá trị nhỏ nhất của biểu thức \({\left|
Xét các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 1\), giá trị nhỏ nhất của biểu thức \({\left| {{z^4} + z + \dfrac{1}{2}} \right|^2}\) bằng:
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Vì \(\left| z \right| = 1 \Rightarrow \) Đặt \(z = \cos \varphi + i\sin \varphi \Rightarrow {z^n} = \cos n\varphi + i\sin n\varphi \).
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}P = {\left| {{z^4} + z + \dfrac{1}{2}} \right|^2} = {\left| {\cos 4\varphi + i\sin 4\varphi + \cos \varphi + i\sin \varphi + \dfrac{1}{2}} \right|^2}\\ = {\left( {\cos 4\varphi + \cos \varphi + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\sin 4\varphi + \sin \varphi } \right)^2}\\ = {\cos ^2}4\varphi + {\cos ^2}\varphi + \dfrac{1}{4} + 2\cos 4\varphi \cos \varphi + \cos 4\varphi + \cos \varphi + {\sin ^2}4\varphi + {\sin ^2}\varphi + 2\sin 4\varphi \sin \varphi \\ = \left( {{{\cos }^2}4\varphi + {{\sin }^2}4\varphi } \right) + \left( {{{\cos }^2}\varphi + {{\sin }^2}\varphi } \right) + \dfrac{1}{4} + 2\left( {\cos 4\varphi \cos \varphi + \sin 4\varphi \sin \varphi } \right) + \cos 4\varphi + \cos \varphi \\ = 1 + 1 + \dfrac{1}{4} + 2\cos 3\varphi + \cos 4\varphi + \cos \varphi \end{array}\)
Đặt \(t = \cos \varphi \Rightarrow \cos 2\varphi = 2{t^2} - 1 \Rightarrow \cos 4\varphi = 2{\left( {2{t^2} - 1} \right)^2} - 1\) và \(\cos 3\varphi = 4{\cos ^3}\varphi - 3\cos \varphi = 4{t^3} - 3t\).
Khi đó ta có
\(\begin{array}{l}P = \dfrac{9}{4} + 2\left( {4{t^3} - 3t} \right) + 2{\left( {2{t^2} - 1} \right)^2} - 1 + t\\\,\,\,\,\, = \dfrac{9}{4} + 8{t^3} - 6t + 2\left( {4{t^4} - 4{t^2} + 1} \right) - 1 + t\\\,\,\,\,\, = \dfrac{9}{4} + 8{t^3} - 6t + 8{t^4} - 8{t^2} + 2 - 1 + t\\\,\,\,\,\, = 8{t^4} + 8{t^3} - 8{t^2} - 5t + \dfrac{{13}}{4} = f\left( t \right)\,\,\left( {t \in \left[ { - 1;1} \right]} \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right)\) trên \(\left[ { - 1;1} \right]\) ta có \(f'\left( t \right) = 32{t^3} + 24{t^2} - 16t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \dfrac{1}{4} \in \left[ { - 1;1} \right]\\t = \dfrac{{ - 1 - \sqrt {11} }}{4} \notin \left[ { - 1;1} \right]\\t = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {11} }}{4} \in \left[ { - 1;1} \right]\end{array} \right.\).
BBT:
Từ BBT ta suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( t \right) = \dfrac{1}{8} \Leftrightarrow t = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {11} }}{4} \Rightarrow {P_{\min }} = \dfrac{1}{8}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
