Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {2;2;2} \right),\,\,B\left( {2;4; - 6} \right),\,\,C\left( {0;2;
Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {2;2;2} \right),\,\,B\left( {2;4; - 6} \right),\,\,C\left( {0;2; - 8} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y + z = 0\). Xét các điểm \(M\) thuộc \(\left( P \right)\) sao cho \(\angle AMB = {90^0}\), đoạn thẳng \(CM\) có độ dài lớn nhất bằng:
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Ta có: \(\angle AMB = {90^0} \Rightarrow M\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) đường kính \(AB\) có tâm \(I\left( {2;3; - 2} \right)\), bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{2\sqrt {17} }}{2} = \sqrt {17} \).
Mà \(M \in \left( P \right) \Rightarrow M = \left( P \right) \cap \left( S \right) \Rightarrow M\) thuộc đường tròn giao tuyến \(\left( C \right)\) của \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\).
Ta có \(d = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 + 3 - 2} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 3 \).
Gọi \(r\) là bán kính của đường tròn \(\left( C \right)\)
\( \Rightarrow {r^2} = {R^2} - {d^2} = 17 - 3 = 14 \Rightarrow r = \sqrt {14} \).
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(C\) trên \(\left( P \right)\), \(\Delta \) là đường thẳng qua \(C\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
\( \Rightarrow \Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\\z = - 8 + t\end{array} \right. \Rightarrow H \in \Delta \Rightarrow H\left( {t;2 + t; - 8 + t} \right)\).
\(H \in \left( P \right) \Rightarrow t + 2 + t - 8 + t = 0 \Leftrightarrow t = 2 \Rightarrow H\left( {2;4; - 6} \right)\).
Ta có \(IH = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = \sqrt {17} > r \Rightarrow H\) nằm ngoài \(\left( C \right)\).
Xét tam giác vuông \(CHM\) : \(C{M^2} = C{H^2} + H{M^2}\).
\(CH = d\left( {C;\left( P \right)} \right) = const \Rightarrow C{M_{\max }} \Leftrightarrow H{M_{\max }}\).
\(CH = d\left( {C;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 2 - 8} \right|}}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 \).
Với \(H,\,\,M \in \left( C \right)\) \( \Leftrightarrow H{M_{\max }} = 2r = 2\sqrt {14} \).
Vậy \(C{M_{\max }} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {2\sqrt {14} } \right)}^2}} = 2\sqrt {17} \).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
