a) Chứng minh đẳng thức: \(\frac{{2{{\sin }^2}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - 1}}{{\cot x - \sin x.\cos

Câu hỏi số 336490:

Vận dụng

a) Chứng minh đẳng thức: \(\frac{{2{{\sin }^2}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - 1}}{{\cot x - \sin x.\cos x}} = 2{\tan ^2}x\) khi các biểu thức đều xác định.

b) Tìm các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \( - 1 \le \frac{{{x^2} - 2x - m}}{{{x^2} + 2x + 2019}} < 2\) nghiệm đúng với mọi số thực \(x.\)

A. \({\rm{b)}}\,\, - 4029 < m \le 2019\)

B. \({\rm{b)}}\,\, - 4029 < m < 2019\)

C. \({\rm{b)}}\,\, - 4029 \le m < 2019\)

D. \({\rm{b)}}\,\, - 4029 \le m \le 2019\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:336490

Phương pháp giải

a) Áp dụng các công thức lượng giác biến đổi vế trái bằng về phải.

b) Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\)

- Nếu \(\Delta < 0\) thì với mọi \(x,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.

- Nếu \(\Delta = 0\)thì \(f\left( x \right)\) có nghiệm kép \(x = - \frac{b}{{2a}}\), với mọi \(x \ne - \frac{b}{{2a}},\,\,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.

- Nếu \(\Delta > 0\),\(f\left( x \right)\)có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) và luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ngoài khoảng \(\left( {{x_1};\,\,{x_2}} \right)\) và luôn trái dấu với hệ số a với mọi x trong khoảng \(\left( {{x_1};\,\,{x_2}} \right).\)

Giải chi tiết

a) Chứng minh đẳng thức: \(\frac{{2{{\sin }^2}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - 1}}{{\cot x - \sin x.\cos x}} = 2{\tan ^2}x\) khi các biểu thức đều xác định.

Ta có:

\(\begin{array}{l}VT = \frac{{2{{\sin }^2}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - 1}}{{\cot x - \sin x.\cos x}} = \frac{{2{{\left( {\sin x\cos \frac{\pi }{4} + \cos x\sin \frac{\pi }{4}} \right)}^2} - 1}}{{\frac{{\cos x}}{{\sin x}} - \sin x.\cos x}}\\ = \frac{{2{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x} \right)}^2} - 1}}{{\frac{{\cos x}}{{\sin x}} - \sin x.\cos x}} = \frac{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2} - 1}}{{\frac{{\cos x}}{{\sin x}} - \sin x.\cos x}}\\ = \frac{{2\sin x\cos x}}{{\frac{{\cos x}}{{\sin x}} - \sin x.\cos x}} = \frac{{2\sin x}}{{\frac{1}{{\sin x}} - \sin x}} = \frac{{2{{\sin }^2}x}}{{1 - {{\sin }^2}x}} = \frac{{2{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 2{\tan ^2}x = VP.\end{array}\)

Vậy \(\frac{{2{{\sin }^2}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - 1}}{{\cot x - \sin x.\cos x}} = 2{\tan ^2}x.\)

b) Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình \( - 1 \le \frac{{{x^2} - 2x - m}}{{{x^2} + 2x + 2019}} < 2\) nghiệm đúng với mọi số thực x.

\(\begin{array}{l} - 1 \le \frac{{{x^2} - 2x - m}}{{{x^2} + 2x + 2019}} < 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \le \frac{{{x^2} - 2x - m}}{{{x^2} + 2x + 2019}}\\\frac{{{x^2} - 2x - m}}{{{x^2} + 2x + 2019}} < 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} - 2x - 2019 \le {x^2} - 2x - m\\{x^2} - 2x - m < 2{x^2} + 4x + 4038\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {do\,\,{x^2} + 2x + 2019 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 2019 - m \ge 0\,\,\,\,\,(1)\\{x^2} + 6x + m + 4038 > 0\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\end{array}\)

Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi số thực \(x\,\, \Leftrightarrow \) (1) và (2) nghiệm đúng với mọi số thực \(x\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1} \le 0\\{\Delta _2} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2\left( {2019 - m} \right) \le 0\\9 - \left( {m + 4038} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2019 - m \ge 0\\ - 4029 - m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 2019\\m > - 4029\end{array} \right. \Leftrightarrow - 4029 < m \le 2019.\)

Vậy với \( - 4029 < m \le 2019\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.