Tính các góc của \(\Delta ABC\) biết \(\left( {1 + \frac{1}{{\sin A}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{\sin B}}}

Câu hỏi số 336495:

Vận dụng cao

Tính các góc của \(\Delta ABC\) biết \(\left( {1 + \frac{1}{{\sin A}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{\sin B}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{\sin C}}} \right) = {\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt[3]{{\sin A\sin B\sin C}}}}} \right)^3}\).

A. \(\angle A = \angle B = \angle C = {60^0}\)

B. \(\angle A = {90^0}\,\,;\,\,\angle B = {30^0}\,\,;\,\,\angle C = {60^0}\)

C. \(\angle A = {90^0}\,\,;\,\,\angle B = \angle C = {45^0}\)

D. \(\angle A = {120^0}\,\,;\,\,\angle B = \angle C = {30^0}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:336495

Phương pháp giải

Chứng minh \(1 + \frac{1}{{\sin A}} \le 1 + \frac{1}{{\sqrt[3]{{\sin A\sin B\sin C}}}}\) từ đó tìm dấu “=” xảy ra để tính các góc của \(\Delta ABC\)

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\left( {1 + \frac{1}{{\sin A}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{\sin B}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{\sin C}}} \right) = {\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt[3]{{\sin A\sin B\sin C}}}}} \right)^3}\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {\sin A + 1} \right)\left( {\sin B + 1} \right)\left( {\sin C + 1} \right)}}{{\sin A\sin B\sin C}} = \frac{{{{\left( {\sqrt[3]{{\sin A\sin B\sin C}} + 1} \right)}^3}}}{{\sin A\sin B\sin C}}\\ \Leftrightarrow \sin A\sin B\sin C + \sin A\sin B + \sin B\sin C + \sin A\sin C + \sin A + \sin B + \sin C + 1\\\,\,\,\,\,\,\, = \sin A\sin B\sin C + 3\sqrt[3]{{{{\sin }^2}A{{\sin }^2}B{{\sin }^2}C}} + 3\sqrt[3]{{\sin A\sin B\sin C}} + 1\\ \Leftrightarrow \sin A\sin B + \sin B\sin C + \sin A\sin C + \sin A + \sin B + \sin C = 3\sqrt[3]{{{{\sin }^2}A{{\sin }^2}B{{\sin }^2}C}} + 3\sqrt[3]{{\sin A\sin B\sin C}}\end{array}\)

Ta có \(A,\,\,B,\,\,C\) là các góc trong tam giác \( \Rightarrow 0 < \sin A,\sin B,\sin C \le 1\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\sin A\sin B + \sin B\sin C + \sin A\sin C \ge 3\sqrt[3]{{{{\sin }^2}A{{\sin }^2}B{{\sin }^2}C}}\\\sin A + \sin B + \sin C \ge 3\sqrt[3]{{\sin A\sin B\sin C}}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \sin A\sin B + \sin B\sin C + \sin A\sin C + \sin A + \sin B + \sin C \ge 3\sqrt[3]{{{{\sin }^2}A{{\sin }^2}B{{\sin }^2}C}} + 3\sqrt[3]{{\sin A\sin B\sin C}}\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow \sin A = \sin B = \sin C\) mà \(A,\,\,B,\,\,C\) là các góc trong \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow A = B = C = {60^o}\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.