Phương trình \({2019^{\sin \,x}} = \sin \,x + \sqrt {2 - {{\cos }^2}x} \) có bao nhiêu nghiệm thực trên

Câu hỏi số 336711:

Vận dụng

Phương trình \({2019^{\sin \,x}} = \sin \,x + \sqrt {2 - {{\cos }^2}x} \) có bao nhiêu nghiệm thực trên đoạn \(\left[ { - 5\pi ;2019\pi } \right]\)?

A. 2019

B. 2025

C. Vô nghiệm

D. 2024

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:336711

Phương pháp giải

Đặt \(\sin \,x = t,\,\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]\). Giải phương trình tìm t.

Giải chi tiết

Đặt \(\sin \,x = t,\,\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Phương trình \({2019^{\sin \,x}} = \sin \,x + \sqrt {2 - {{\cos }^2}x} \) (1) trở thành: \({2019^t} = t + \sqrt {1 + {t^2}} \) (2)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = t + \sqrt {1 + {t^2}} - {2019^t},\,\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]\)ta có: \(f'\left( t \right) = 1 + \dfrac{t}{{\sqrt {1 + {t^2}} }} - {2019^t}\ln 2019 < 0\,\,\forall t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

\( \Rightarrow \) Phương trình (2) có duy nhất 1 nghiệm là \(t = 0\).

Khi đó, \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sin \,x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\)

Mà \(x \in \left[ { - 5\pi ;2019\pi } \right] \Rightarrow - 5\pi \le k\pi \le 2019\pi \Leftrightarrow - 5 \le k \le 2019 \Leftrightarrow k \in \left\{ { - 5; - 4;...;2019} \right\}\): có \(2019 - \left( { - 5} \right) + 1 = 2025\) giá trị.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.