Nếu \(I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x - \cos x}}{{\sqrt {1 + \sin 2x} }}dx =

Câu hỏi số 337458:

Vận dụng

Nếu \(I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x - \cos x}}{{\sqrt {1 + \sin 2x} }}dx = \frac{a}{b}\ln c} ,\,\,\,\,\left( {a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{Z}} \right)\) thì \(a + 2b + 3c\) là

A. \(13\)

B. \(14\)

C. \(9\)

D. \(11\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:337458

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức lượng giác \(\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\,\,\,\,\\\sin 2x = 2\sin x\cos x\\\sin x - \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\\\sin x + \cos x = \sqrt 2 \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\end{array} \right.\)

Sử dụng công thức nguyên hàm \(\int {\frac{1}{u}du} = \ln \left| u \right| + C\) và công thức vi phân \(d\left( {f\left( x \right)} \right) = f'\left( x \right)dx\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x - \cos x}}{{\sqrt {1 + \sin 2x} }}dx = } \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x - \cos x}}{{\sqrt {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x + 2\sin x.\cos x} }}dx = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x - \cos x}}{{\sqrt {{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}} }}dx} } \\ = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x - \cos x}}{{\sin x + \cos x}}dx} = - \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{d\left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{\sin x + \cos x}}} = - \left. {\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\\ = - \ln 1 + ln\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \ln \sqrt 2 = \frac{1}{2}\ln 2.\end{array}\)

Suy ra \(a = 1;b = 2;c = 2 \Rightarrow a + 2b + 3c = 1 + 2.2 + 3.2 = 11.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.