Đường thẳng \(x = k\) cắt đồ thị hàm số \(y = {\log _5}x\) và đồ thị hàm số \(y = {\log

Câu hỏi số 337459:

Vận dụng

Đường thẳng \(x = k\) cắt đồ thị hàm số \(y = {\log _5}x\) và đồ thị hàm số \(y = {\log _5}\left( {x + 4} \right)\). Khoảng cách giữa các giao điểm là \(\frac{1}{2}\). Biết \(k = a + \sqrt b \), trong đó \(a,b\) là các số nguyên. Khi đó tổng \(a + b\) bằng

A. \(7\)

B. \(6\)

C. \(8\)

D. \(5\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:337459

Phương pháp giải

- Tìm tọa độ hai giao điểm của đường thẳng với hai đồ thị hàm số.

- Thay vào điều kiện khoảng cách giữa hai giao điểm tìm \(k\).

Giải chi tiết

Điều kiện : \(x > 0.\)

Đường thẳng \(x = k\) cắt đồ thị hàm số \(y = {\log _5}x\) tại điểm \(A\left( {k;{{\log }_5}k} \right)\) với \(k > 0\).

Đường thẳng \(x = k\) cắt đồ thị hàm số \(y = {\log _5}\left( {x + 4} \right)\) tại điểm \(B\left( {k;{{\log }_5}\left( {k + 4} \right)} \right)\).

\(\begin{array}{l}AB = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left| {{{\log }_5}\left( {k + 4} \right) - {{\log }_5}k} \right| = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left| {{{\log }_5}\frac{{k + 4}}{k}} \right| = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {\log _5}\frac{{k + 4}}{k} = \frac{1}{2}\\\left( {do\,\,\,\,k + 4 > k > 0 \Rightarrow \frac{{k + 4}}{k} > 1 \Rightarrow {{\log }_5}\frac{{k + 4}}{k} > {{\log }_5}1 = 0} \right)\end{array}\)

Khi đó \(k + 4 = k\sqrt 5 \Leftrightarrow k\left( {\sqrt 5 - 1} \right) = 4 \Leftrightarrow k = \frac{4}{{\sqrt 5 - 1}} = \frac{{4\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}}{{5 - 1}} = 1 + \sqrt 5 \)

Vậy \(k = 1 + \sqrt 5 \Rightarrow a = 1,b = 5 \Rightarrow a + b = 6\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.