Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA\) vuông góc với đáy, \(SA = a\sqrt 6 .\) Đáy \(ABCD\) là hình thang

Câu hỏi số 337462:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA\) vuông góc với đáy, \(SA = a\sqrt 6 .\) Đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\), \(AB = BC = \frac{1}{2}AD = a.\) Gọi \(E\) là trung điểm \(AD.\) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ECD.\)

A. \(R = \frac{{a\sqrt {30} }}{3}\)

B. \(R = a\sqrt {\frac{{19}}{6}} \)

C. \(R = a\sqrt 6 \)

D. \(R = \sqrt {\frac{{114}}{6}} a\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:337462

Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa độ, tìm tọa độ các điểm \(S,E,C,D\)

Viết phương trình đường thẳng \(d\) qua \(M\) và song song với \(SA\) (với \(M\) là trung điểm của \(CD\))

Gọi \(I \in d\) để \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp \(SECD\) thì \(IS = ID\)

Từ đó tìm được tâm \(I\) và suy ra bán kính mặt cầu.

Giải chi tiết

Vì \(E\) là trung điểm \(AD\) và \(AB = BC = \frac{1}{2}AD = a\) nên \(AB = BC = AE = ED = a\) mà \(BC//AE \Rightarrow \) tứ giác \(ABCE\) là hình vuông suy ra \(CE \bot AD\) hay tam giác \(ECD\) vuông tại \(E\) nên \(M\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ECD\)

Gắn hệ trục tọa độ với \(A \equiv O\left( {0;0;0} \right)\) , \(AD \equiv Ox;\,AB \equiv Oy;AS \equiv Oz\)

Coi đơn vị độ dài là \(a = 1.\)

Suy ra \(A\left( {0;0;0} \right),S\left( {0;0;\sqrt 6 } \right),E\left( {1;0;0} \right),D\left( {2;0;0} \right),C\left( {1;1;0} \right)\) và \(M\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2};0} \right)\) là trung điểm của \(CD.\)

Vì \(\Delta ECD\) vuông tại \(E\) nên taammatwj cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ECD\) thuộc đường thẳng qua \(M\) và song song với \(SA.\)

Phương trình đường thẳng \(d\) qua \(M\) và song song với \(SA\) có 1 VTPT là \(\left( {0;0;1} \right)\) thì có dạng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\y = \frac{1}{2}\\z = t\end{array} \right.\)

Suy ra \(I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2};t} \right)\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.EDC\) thì:

\(\begin{array}{l}IS = ID \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {t - \sqrt 6 } \right)^2} = {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {t^2}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt 6 t = 8 \Rightarrow t = \frac{4}{{\sqrt 6 }} \Rightarrow I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2};\frac{4}{{\sqrt 6 }}} \right)\end{array}\)

Bán kính mặt cầu là \(R = ID = \sqrt {{{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{4}{{\sqrt 6 }}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{19}}{6}} \)

Hay \(R = \sqrt {\frac{{19}}{6}} a.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.