Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( { - 3;0;1} \right)\), \(B\left( {1; - 1;3} \right)\) và mặt

Câu hỏi số 337467:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( { - 3;0;1} \right)\), \(B\left( {1; - 1;3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z - 5 = 0\). Đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua \(A\), song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho khoảng cách từ \(B\) đến đường thẳng \(d\) nhỏ nhất. Đường thẳng \(\left( d \right)\) có một VTCP là \(\overrightarrow u = \left( {1;b;c} \right)\) khi đó \(\frac{b}{c}\) bằng

A. \(\frac{b}{c} = 11\)

B. \(\frac{b}{c} = - \frac{{11}}{2}\)

C. \(\frac{b}{c} = - \frac{3}{2}\)

D. \(\frac{b}{c} = \frac{3}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:337467

Phương pháp giải

- Viết phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) qua \(A\) và song song với \(\left( P \right)\)

- Tìm hình chiếu \(H\) của \(B\) lên \(\left( Q \right)\).

- Đường thẳng \(AH\) là đường thẳng cần tìm.

Giải chi tiết

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) qua \(A\left( { - 3;0;1} \right)\) và song song với \(\left( P \right)\) nên nhận \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)\) làm VTPT.

\( \Rightarrow \left( Q \right):1\left( {x + 3} \right) - 2\left( {y - 0} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0\) hay \(\left( Q \right):x - 2y + 2z + 1 = 0\).

Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và song song \(\left( P \right)\) nên \(d \subset \left( Q \right)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(B\) lên \(\left( Q \right)\) thì \(d\left( {B,d} \right) \ge BH\) hay \(d\left( {B,d} \right)\) đạt GTNN bằng \(BH\) khi \(d \equiv AH\).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(B\left( {1; - 1;3} \right)\) và vuông góc với \(\left( Q \right)\) thì \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 1 - 2t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l}H = \Delta \cap \left( Q \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 1 - 2t\\z = 3 + 2t\\x - 2y + 2z + 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left( {1 + t} \right) - 2\left( { - 1 - 2t} \right) + 2\left( {3 + 2t} \right) + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 9t + 10 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{{10}}{9}\\ \Rightarrow H\left( { - \frac{1}{9};\frac{{11}}{9};\frac{7}{9}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \left( {\frac{{26}}{9}; - \frac{{11}}{9};\frac{2}{9}} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {1; - \frac{{11}}{{26}};\frac{1}{{13}}} \right)\) hay \(b = - \frac{{11}}{{26}},c = \frac{1}{{13}} \Rightarrow \frac{b}{c} = - \frac{{11}}{2}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.