Trong không gian \(Oxyz,\) cho \({d_1}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2},{d_2}:\left\{

Câu hỏi số 337466:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz,\) cho \({d_1}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2},{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 3\\z = t\end{array} \right.\) . Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \({d_1};{d_2}\) nằm về hai phía của \(\left( P \right)\) và \(\left( P \right)\) cách đều \({d_1};{d_2}.\)

A. \(\left( P \right):x + 3y + z - 8 = 0\)

B. \(\left( P \right):x + 3y + z + 8 = 0\)

C. \(\left( P \right):4x + 5y - 3z + 4 = 0\)

D. \(\left( P \right):4x + 5y + 3z - 4 = 0\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:337466

Phương pháp giải

Lập luận để có 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]\) rồi suy ra phương trình tổng quát của mặt phẳng \(\left( P \right).\)

Sử dụng công thức khoảng cách \(d\left( {{d_1};\left( P \right)} \right) = d\left( {M;\left( P \right)} \right)\) với \({d_1}//\left( P \right);\,M \in {d_1}\)

Với điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + z + d = 0\) thì \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

Giải chi tiết

Ta có \({d_1}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\) đi qua \({M_1}\left( {2;1;0} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1;2} \right)\)

Và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 3\\z = t\end{array} \right.\) đi qua \({M_1}\left( {2;3;0} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;0;1} \right)\)

Vì \(\left( P \right)\) cách đều \({d_1};{d_2}\) nên \({d_1}//\left( P \right);{d_2}//\left( P \right)\) suy ra 1 VTPT của \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 1; - 3; - 1} \right)\)

Suy ra phương trình tổng quát của \(\left( P \right)\) là \( - x - 3y - z - d = 0 \Leftrightarrow x + 3y + z + d = 0\)

Vì \({d_1};{d_2}\) nằm về hai phía của \(\left( P \right)\) và \(\left( P \right)\) cách đều \({d_1};{d_2}\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {{M_1};\left( P \right)} \right) = d\left( {{M_2};\left( P \right)} \right)\\I \in \left( P \right)\end{array} \right.\)

Với \(I\left( {2;2;0} \right)\) là trung điểm của \({M_1}{M_2}\).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{\left| {2 + 3 + d} \right|}}{{\sqrt {11} }} = \frac{{\left| {2 + 9 + d} \right|}}{{\sqrt {11} }}\\2 + 2.3 + d = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {5 + d} \right| = \left| {11 + d} \right|\\d = - 8\end{array} \right. \Rightarrow d = - 8\)

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y + z - 8 = 0\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.