Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = , y = và x = ln3

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Phương trình, Bất PT và hệ PT đại số

Câu hỏi số 3378:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = $\sqrt{e^{x}+1}$ , y = $\frac{2}{\sqrt{e^{x}+1}}$ và x = ln3

A. S = 4 - 2√2 - ln(9 + 6√2)

B. S = 4 + 2√2 + ln(9 - 6√2)

C. S = 4 - 2√2 + ln(9 + 6√2)

D. S = 4 - 2√2 + ln(9 - 6√2)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:3378

Giải chi tiết

Hoành độ giao điểm của hai đường cong y = $\sqrt{e^{x}+1}$ và y = $\frac{2}{\sqrt{e^{x}+1}}$

Là nghiệm của phương trình $\sqrt{e^{x}+1}$ = $\frac{2}{\sqrt{e^{x}+1}}$ ⇔ e^x + 1 = 2 ⇔ x = 0

Suy ra hình phẳng đã cho giới hạn bởi các đường

y = $\sqrt{e^{x}+1}$ , y = $\frac{2}{\sqrt{e^{x}+1}}$ , x = 0 và x = ln3.

Mặt khác $\sqrt{e^{x}+1}$ ≥ √2 ≥ $\frac{2}{\sqrt{e^{x}+1}}$ , ∀ x ∈ [0 ; ln3]

Nên diện tích hình giới hạn là S = $\int_{0}^{ln3}$ ( $\sqrt{e^{x}+1}$ - $\frac{2}{\sqrt{e^{x}+1}}$ )dx

Đặt t = $\sqrt{e^{x}+1}$ . Suy ra dt = $\frac{e^{x}dx}{2\sqrt{e^{x}+1}}$ hay dx = $\frac{2tdt}{t^{2}-1}$

Khi x = 0 ⇒ t = √2; khi x = ln3 ⇒ t = 2.

Suy ra S = $\int_{\sqrt{2}}^{2}$ (t - $\frac{2}{t}$ ). $\frac{2tdt}{t^{2}-1}$ = $\int_{\sqrt{2}}^{2}$ (2 - $\frac{2}{t^{2}-1}$ )dt

= $\int_{\sqrt{2}}^{2}$ (2 - $\frac{1}{t-1}$ + $\frac{1}{t+1}$ )dt = (2t - ln|t - 1| + ln|t + 1|) $|_{\sqrt{2}}^{2}$

= 4- 2√2 + ln(9 - 6√2)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.