Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \({\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^x} + {\left( {\sqrt 2 + 1}

Câu hỏi số 338611:

Thông hiểu

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \({\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^x} + {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^x} - 6 = 0\) là:

A. \(1\)

B. \(\dfrac{5}{2}\)

C. \(6\)

D. \(0\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:338611

Phương pháp giải

Nhận xét \({\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^x}.{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^x} = 1\) nên nếu đặt \({\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^x} = t > 0 \Rightarrow {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^x} = \dfrac{1}{t}\). Sử dụng định lí Vi-ét.

Giải chi tiết

Ta có \(\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\left( {\sqrt 2 + 1} \right) = 1 \Rightarrow {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^x}{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^x} = 1\).

Đặt \({\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^x} = t > 0 \Rightarrow {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^x} = \dfrac{1}{t}\), khi đó phương trình trở thành \(\dfrac{1}{t} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 6t + 1 = 0\).

Có \(\Delta ' = 9 - 1 = 8 > 0 \Rightarrow \) Phương trình ẩn \(t\) có 2 nghiệm \({t_1},\,\,{t_2}\) phân biệt \( \Rightarrow \) Phương trình ban đầu có 2 nghiệm \({x_1},\,{x_2}\) phân biệt.

Ta có \({x_1} + {x_2} = {\log _{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}{t_1} + {\log _{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}{t_2} = {\log _{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}\left( {{t_1}{t_2}} \right) = {\log _{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}1 = 0\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.