Cho \(A,B,C\) là ba góc của một tam giác. Khẳng định nào sau đây sai ?

Câu hỏi số 339144:

Vận dụng

Cho \(A,B,C\) là ba góc của một tam giác. Khẳng định nào sau đây sai ?

A. \(\sin A + \sin B + \sin C = 4\cos \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{B}{2}\cos \dfrac{C}{2}\)

B. \(\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{C}{2}\)

C. \(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A\sin B\sin C\)

D. \(\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C = 4\cos A\cos B\cos C\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:339144

Phương pháp giải

Sử dụng linh hoạt các công thức biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng.

Giải chi tiết

* Xét đáp án A:

\(\begin{array}{l}\sin A + \sin B + \sin C = 2\sin \dfrac{{A + B}}{2}\cos \dfrac{{A - B}}{2} + \sin C\\ = 2\sin \dfrac{{\pi - C}}{2}\cos \dfrac{{A - B}}{2} + \sin C = 2\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{C}{2}} \right)\cos \dfrac{{A - B}}{2} + 2\sin \dfrac{C}{2}\cos \dfrac{C}{2}\\ = 2\cos \dfrac{C}{2}\cos \dfrac{{A - B}}{2} + 2\sin \dfrac{C}{2}\cos \dfrac{C}{2} = 2\cos \dfrac{C}{2}\left( {\cos \dfrac{{A - B}}{2} + \sin \dfrac{C}{2}} \right)\\ = 2\cos \dfrac{C}{2}\left( {\cos \dfrac{{A - B}}{2} + \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{C}{2}} \right)} \right) = 2\cos \dfrac{C}{2}\left( {\cos \dfrac{{A - B}}{2} + \cos \dfrac{{A + B}}{2}} \right)\\ = 2\cos \dfrac{C}{2}.2\cos \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{B}{2} = 4\cos \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{B}{2}\cos \dfrac{C}{2}\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.

* Xét đáp án B:

\(\begin{array}{l}\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{C}{2}\\ \Leftrightarrow \cos A + \cos B + \cos C - 1 = 4\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{C}{2}\\ \Leftrightarrow 2\cos \dfrac{{A + B}}{2}\cos \dfrac{{A - B}}{2} - 2{\sin ^2}\dfrac{C}{2} = 4\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{C}{2}\\ \Leftrightarrow 2\cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{C}{2}} \right)\cos \dfrac{{A - B}}{2} - 2{\sin ^2}\dfrac{C}{2} = 4\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{C}{2}\\ \Leftrightarrow 2\sin \dfrac{C}{2}\cos \dfrac{{A - B}}{2} - 2{\sin ^2}\dfrac{C}{2} = 4\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{C}{2}\\ \Leftrightarrow 2\sin \dfrac{C}{2}\left( {\cos \dfrac{{A - B}}{2} - \sin \dfrac{C}{2}} \right) = 4\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{C}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \dfrac{{A - B}}{2} - \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{C}{2}} \right) = 2\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \dfrac{{A - B}}{2} - \cos \dfrac{{A + B}}{2} = 2\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\\ \Leftrightarrow - 2\sin \dfrac{{A - B + A + B}}{4}\sin \dfrac{{A - B - A - B}}{4} = 2\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\\ \Leftrightarrow - \sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{{ - B}}{2} = \sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án B đúng.

* Xét đáp án C:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 2\sin \left( {A + B} \right)\cos \left( {A - B} \right) + \sin 2C\\ = 2\sin \left( {\pi - C} \right)\cos \left( {A - B} \right) + \sin 2C = 2\sin C\cos \left( {A - B} \right) + 2\sin C\cos C\\ = 2\sin C\left( {\cos \left( {A - B} \right) + \cos C} \right) = 2\sin C.2\cos \dfrac{{C + A - B}}{2}\cos \dfrac{{C - A + B}}{2}\\ = 4\sin Ccos\dfrac{{\pi - 2B}}{2}\cos \dfrac{{\pi - 2A}}{2} = 4\sin C\cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - B} \right)\cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - A} \right)\\ = 4\sin C\sin B\sin A = 4\sin A\sin B\sin C\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án C đúng.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.